📝 Exercices de la série▼
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Exercice 2

  1. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

    • a=(1+2i)2a=(1+2i)^2
    • b=(5+i)(3−2i)b=(5+i)(3-2i)
    • c=5i(3+2i)c=5i(3+2i)

  2. Soit xx un nombre réel posons : z=x+1+i(x2−x)z=x+1+i(x^2-x)

a) Déterminer x pour que z soit réel

b) Déterminer x pour que z soit imaginaire pur.

1/

a=(1+2i)2=12+2×1×2i+(2i)2=1+4i−4=−3+4ib=(5+i)(3−2i)=15−10i+3i−2i2=15−7i+2=17−7ic=5i(3+2i)=15i+10i2=−10+15i\begin{aligned} a&=(1+2i)^2=1^2+2\times1\times2i+(2i)^2\\&=1+4i-4=-3+4i\\ b&=(5+i)(3-2i)\\&=15-10i+3i-2i^2\\&=15-7i+2=17-7i\\ c&=5i(3+2i)=15i+10i^2\\&=-10+15i \end{aligned}

2/ Soit x∈Rx\in\R ; z=x+1+i(x2−x)z=x+1+i(x^2-x)

a/

z∈R⟺Im(z)=0⟺x2−x=0⟺x(x−1)=0⟺x=0 ou x=1\begin{aligned} z\in\R &\Longleftrightarrow \mathcal{I}m(z)=0 \\ &\Longleftrightarrow x^2-x=0 \\ &\Longleftrightarrow x(x-1)=0 \\ &\Longleftrightarrow x=0 \text{ ou } x=1 \end{aligned}

b/

z∈iR⟺Re(z)=0⟺x+1=0⟺x=−1\begin{aligned} z\in i\R &\Longleftrightarrow \mathcal{R}e(z)=0 \\ &\Longleftrightarrow x+1=0 \\ &\Longleftrightarrow x=-1 \end{aligned}