1. $z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{2i+2-2i}{2}=1$

$$\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}&=\dfrac{2i+1-i}{2-2i+1-i}\\ &=\dfrac{i+1}{3-3i}=\dfrac{(i+1)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)} \\&=\dfrac{3i-3+3+3i}{3^2-(3i)^2} \\&=\dfrac{6i}{9+9}=\dfrac13 i \end{align*}$$

Comme $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\notin\R$,alors les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés

$$\begin{align*} |z_A-z_B|&=|-1+i-2i|\\&=|-1-i|\\&=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{2}\\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} |z_A-z_C|&=|-1+i-2+2i|\\&=|-3+3i|\\&=\sqrt{(-3)^2+(3)^2}\\&=\sqrt{18} \end{align*}$$ $$\begin{align*} |z_C-z_B|&=|2-2i-2i|\\&=|2-4i|\\&=\sqrt{(2)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{20} \end{align*}$$

Conclusion :

• $AB=|z_A-z_B|=\sqrt{2}$
• $AC=|z_A-z_C|=\sqrt{18}$
• $BC=|z_C-z_B|=\sqrt{20}$

Donc $AB^2=2$ et $AC^2=18$ et $BC^2=20$

Alors $AB^2+AC^2=BC^2$

D'aprés la réciproque de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $A$