تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Limite d'une suite numérique

Exercice 8

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} la suite définie par :

{u0=32un+1=2un2un+5(∀n∈N)\left\{ \begin{array}{l} u_0 = \dfrac{3}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} \quad (\forall n \in \N) \end{array} \right.

Le but de l’exercice est de déterminer la limite de la suite (un)(u_n) par trois méthodes.

  1. Calculer u1u_1.

Méthode 1

  1. Montrer par récurrence que (∀n∈N) un>0(\forall n \in \N) ~ u_n > 0.
  2. Montrer que la suite (un)(u_n) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
  3. Soit ff la fonction définie sur I=]0;+∞[I = ]0; +\infty[ par : f(x)=2x2x+5f(x) = \dfrac{2x}{2x + 5}.
    En utilisant cette fonction, déterminer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.

Méthode 2

  1. Montrer que (∀n∈N) 0<un+1<25un(\forall n \in \N) ~ 0 < u_{n+1} < \dfrac{2}{5} u_n.
  2. En déduire que (∀n∈N) 0<un<32(25)n(\forall n \in \N) ~ 0 < u_n < \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{2}{5} \right)^n.
  3. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.

Méthode 3

On considère la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \N} définie par :

vn=4un2un+3v_n = \dfrac{4u_n}{2u_n + 3}
  1. Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=25q = \dfrac{2}{5}.
  2. Déterminer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire unu_n en fonction de nn pour tout n∈Nn \in \N.
  3. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.
{u0=32un+1=2un2un+5\left\{ \begin{array}{l} u_0 = \dfrac{3}{2} \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} \end{array} \right.

1. Calcul de u1u_1 :

u1=2⋅322⋅32+5=33+5=38u_1 = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{3}{2} + 5} = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8}

🔹 Méthode 1 : Monotonie + fonction

  1. Montrons que un>0u_n > 0 par récurrence :
  • u0=32>0u_0 = \frac{3}{2} > 0
  • Si un>0u_n > 0 alors un+1=2un2un+5>0u_{n+1} = \dfrac{2u_n}{2u_n + 5} > 0

Donc un>0u_n > 0 pour tout nn

  1. Montrons que (un)(u_n) est décroissante :
un+1−un=un(22un+5−1)=un⋅−2un−32un+5<0u_{n+1} - u_n = u_n \left( \frac{2}{2u_n + 5} - 1 \right) = u_n \cdot \frac{-2u_n - 3}{2u_n + 5} < 0

Donc (un)(u_n) est décroissante

on a (un)(u_n) est minorée et décroissante alors ells est convergente.

  1. Étude de la limite :

Soit L=lim⁡unL = \lim u_n, alors :

L=2L2L+5  ⟹  L(2L+5)=2L  ⟹  L(2L+3)=0  ⟹  L=0 ou L=−32\begin{align*} L = \frac{2L}{2L + 5} & \implies L(2L + 5) = 2L \\ &\implies L(2L + 3) = 0\\ &\implies L=0 \text{ ou }L=-\frac32 \end{align*}

Donc L=0L = 0 (car un>0u_n > 0)

🔹 Méthode 2 : Inégalité et encadrement

  1. Montrons que :
un+1=2un2un+5<25unu_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5} < \frac{2}{5}u_n
un+1−25un=2un2un+5−25un=−4un25(2un+5)<0 car un>0\begin{align*} u_{n+1} - \frac{2}{5}u_n &=\frac{2u_n}{2u_n + 5}-\frac{2}{5}u_n\\ &=\frac{-4u_n^2}{5(2u_n + 5)}<0 \text{ car } u_n>0 \end{align*}
  1. On a montré que, pour tout n∈Nn \in \N, on a :
un+1<25unu_{n+1} < \frac{2}{5} u_n

En particulier, on obtient successivement :

  • pour n=0n = 0 : u1<25u0u_1 < \dfrac{2}{5} u_0
  • pour n=1n = 1 : u2<25u1u_2 < \dfrac{2}{5} u_1
  • pour n=2n = 2 : u3<25u2u_3 < \dfrac{2}{5} u_2
  • ⋮\vdots
  • pour n←n−1n \leftarrow n-1 : un<25un−1u_n < \dfrac{2}{5} u_{n-1}

En multipliant ces inégalités entre elles membre à membre, on obtient :

un<(25)nu0u_n < \left(\frac{2}{5}\right)^n u_0

Or u0=32u_0 = \dfrac{3}{2}, donc :

un<32(25)nu_n < \frac{3}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n

on a lim⁡un(25)n=lim⁡un(25)n=0\lim u_n \left(\frac{2}{5}\right)^n = \lim u_n \left(\frac{2}{5}\right)^n=0

car : −1<25<1-1 < \frac{2}{5} <1

Donc lim⁡un=0\lim u_n = 0

🔹 Méthode 3 : Suite géométrique

vn+1=4un+12un+1+3=8un4un+6un+15=8un10un+15=254un2un+3=25vn\begin{align*} v_{n+1} &=\frac{4u_{n+1}}{2u_{n+1}+3}\\ &=\frac{8u_n}{4u_n+6u_n+15}\\ &=\dfrac{8u_n}{10u_n+15}\\ &=\dfrac25\dfrac{4u_n}{2u_n+3}\\ &=\dfrac25v_n \end{align*}

Donc (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=25q=\dfrac25 et de premier terme v0=1v_0=1

vn=vp.qn−p=(25)nv_n = v_p.q^{n-p}=\left(\dfrac25\right)^n
vn=4un2un+3  ⟺  2unvn+3vn=4un  ⟺  un(2vn−4)=−3vn  ⟺  un=−3vn2vn−4  ⟺  un=−3(25)n2(25)n−4\begin{align*} v_n=\frac{4u_n}{2u_n+3} &\iff 2u_nv_n+3v_n=4u_n \\ &\iff u_n(2v_n-4)=-3v_n \\ &\iff u_n=\frac{-3v_n}{2v_n-4}\\ &\iff u_n=\frac{-3\left(\dfrac25\right)^n}{2\left(\dfrac25\right)^n-4} \end{align*}

or lim⁡(25)n=0\lim \left(\dfrac25\right)^n=0 car −1<25<1-1<\dfrac25<1

Donc :

lim⁡un=0\lim u_n = 0