تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Limite d'une suite numérique

Exercice 2

Soit (un)(u_n) définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=un+6u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}

  1. Montrer que 0<un<30 < u_n < 3
  2. Montrer que (un)(u_n) est croissante
  3. La suite est-elle convergente ?
  4. Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n
  1. par récurrence.

Initialisation : u0=2u_0 = 2, donc 0<u0<30 < u_0 < 3 est vérifié.

Hérédité : Soit n∈Nn\in\N Supposons que, 0≤un≤30 \le u_n \le 3.

Alors,

0≤un+6≤3+6=9=30 \le \sqrt{u_n + 6} \le \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3

Donc, 0≤un+1=un+6<30 \le u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6} < 3.

Conclusion : par récurrence,

(∀n∈N)  0<un≤3(\forall n \in \mathbb{N}) \; 0 < u_n \le 3
un+1un=un+6un=un+6un2=1un+6un2       car un>0\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\sqrt{u_n+6}}{u_n}\\ &=\sqrt{\dfrac{u_n+6}{u_n^2}}\\ &=\sqrt{\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}}~~~~~~\text{ car } u_n>0 \end{align*}

or 0<un<30 < u_n < 3 donc 1un>13\frac{1}{u_n} >\frac13 et donc 1un2>19\frac{1}{u_n^2} >\frac1{9}

1un+6un2>13+69=1\frac1{u_n}+\frac{6}{u_n^2}>\frac13+\frac69=1

et donc :

un+1un>1       et un>0\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1~~~~~~~\text{et } u_n>0

Alors : la suite (un)(u_n) est croissnate

  1. Comme la suite (un)n(u_n)_n est croissante et minorée, donc elle est convergente

  2. Soit ff la fonction définie sur I=[0,3]I=[0,3] par : f(x)=x+3f(x)=\sqrt{x+3}

on a :

  • ff est continue sur II
  • un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et u0∈Iu_0\in I
  • La suite (un)(u_n) est convergente
  • ff est strictement croissante sur II donc f(I)=[f(0);f(1)]=[1;3]f(I)=[f(0);f(1)]=[1;3] et donc f(I)⊂If(I)\subset I

Donc la limite de la suite (un)(u_n) est la solution de l’équation f(x)=xf(x)=x

Soit x∈Ix\in I

f(x)=x  ⟺  x+6=3  ⟺  x+6=9  ⟺  x=3\begin{align*} f(x)=x &\iff \sqrt{x+6}=3 \\ &\iff x+6=9 \\ &\iff x=3 \end{align*}

Conclusion :

lim⁡n→+∞un=3\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3