تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Limite d'une suite numérique

Exercice 7

Soit (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} la suite définie par :

{u0=1un+1=3un−82un−5(∀n∈N)\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \quad (\forall n \in \N) \end{array} \right.

  1. Montrer que (∀n∈N) un<2(\forall n \in \N) ~ u_n < 2.

  2. On pose : (∀n∈N) vn=un−3un−2(\forall n \in \N) ~ v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}.

    a) Montrer que (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison r=2r = 2, puis calculer son premier terme.
    b) Calculer vnv_n en fonction de nn, puis en déduire : (∀n∈N) un=1+4n1+2n(\forall n \in \N) ~ u_n = \dfrac{1 + 4n}{1 + 2n}.
    c) Calculer lim⁡n→+∞un\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.
    d) Calculer S=v0+v1+v2+⋯+v10S = v_0 + v_1 + v_2 + \dots + v_{10}.

{u0=1un+1=3un−82un−5\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{3u_n - 8}{2u_n - 5} \end{array} \right.
  1. Par récurrence :

  • Initialisation : u0=1<2u_0 = 1 < 2

  • Hérédité : soit n∈Nn\in\N, supposons que un<2u_n < 2 et montrons que un+1<2u_{n+1} < 2

    On a :

    un+1−2=3un−82un−5−2=−un+22un−5\begin{align*} u_{n+1}-2&=\frac{3u_n - 8}{2u_n - 5} - 2\\& = \frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} \end{align*}

    et on a un<2u_n < 2, alors −un+2>0-u_n + 2 > 0 et 2un−5<02u_n - 5 < 0

    le quotient −un+22un−5\frac{-u_n + 2}{2u_n - 5} est négatif

    et donc un+1<2u_{n+1} < 2

  • Conclusion :

    (∀n∈N) un<2(\forall n\in\N)~ u_n < 2
  1. vn=un−3un−2v_n = \dfrac{u_n - 3}{u_n - 2}

a) Montrons que (vn)(v_n) est arithmétique :

vn+1=un+1−3un+1−2=3un−7un−2\begin{align*} v_{n+1} &=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}-2}\\ &=\dfrac{3u_n-7}{u_n-2} \end{align*}
vn+1−vn=2un−4un−2=2v_{n+1}-v_n=\dfrac{2u_n-4}{u_n-2}=2

Donc (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison r=2r = 2 et de prmier terme v0v_0 :

v0=u0−3u0−2=1−31−2=2v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 - 2} = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2

b) Exprimer vnv_n et unu_n :

Suite arithmétique :

vn=v0+nr=2+2n=2(1+n)\begin{align*} v_n &=v_0+nr\\&=2 + 2n \\&= 2(1 + n) \end{align*}

et on a :

vn=un−3un−2  ⟹  vnun−2vn=un−3  ⟹  un(vn−1)=2vn−3  ⟹  un=2vn−3vn−1\begin{align*} v_n=\frac{u_n-3}{u_n-2}&\implies v_nu_n-2v_n=u_n-3\\ &\implies u_n(v_n-1)=2v_n-3 \\ &\implies u_n=\frac{2v_n-3}{v_n-1} \end{align*}

Alors :

un=2vn−3vn−1=4n+12n+1u_n = \frac{2v_n - 3}{v_n - 1} = \frac{4n + 1}{2n + 1}

c) Calcul de la limite :

lim⁡n→∞un=lim⁡n→∞4n+12n+1=42=2\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 1}{2n + 1} = \frac{4}{2} = 2

d) Calcul de S=v0+v1+⋯+v10S = v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}

v10=2(1+10)=22v_{10}=2(1+10)=22

Suite arithmétique de premier terme v0=2v_0 = 2, raison r=2r = 2, n=11n = 11 termes :

S=112(v0+v10)=112(2+22)=132S = \frac{11}{2}(v_0 + v_{10}) = \frac{11}{2}(2 + 22) = 132