Limite d'une suite numérique

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Calculer la limite des suites $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ au voisinage de $+\infty$ :

u_n = \frac{3n + 1}{n^3 - 2}, \quad v_n = \frac{5n^2 + 1}{n + 1}, \quad w_n = (-1)^n

Les suites $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ sont-elles convergentes ?

Correction

\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} u_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{3n + 1}{n^3 - 2}\\ \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n^3 \left( \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right)}{n^3 \left( 1 - \frac{2}{n^3} \right)} \\&= \frac{0}{1}\\& = 0 \end{align*}

Donc, la suite $(u_n)$ est convergente.

\begin{align*} \lim\limits_{n \to +\infty} v_n &= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2 + 1}{n + 1} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{5n^2}{n} \\&= \lim\limits_{n \to +\infty} 5n \\&= +\infty \end{align*}

Donc, la suite $(v_n)$ est divergente.