Limite d'une suite numérique

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Si

$(\forall n \ge p)\quad |u_n - L| \le v_n$

et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$

alors $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L$ .

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n+1}$

Correction

1. $(\forall n \in \mathbb{N}) ~;~ |v_n-2|\le \frac{1}{n}$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a

v_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n+1}

Calculons $|v_n - 2|$ :

\begin{align*} |v_n - 2| &= \left| 2 + \frac{(-1)^n}{n+1} - 2 \right| \\&= \left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right| \\&= \frac{1}{n+1} \end{align*}

Puisque $n+1 > n$ pour tout $n \geq 1$ , on a

\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n}

Donc, $|v_n - 2| \leq \frac{1}{n}$ .

2. En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n$

On sait que $|v_n - 2| \leq \frac{1}{n}$ et $\lim\limits_{+\infty}\dfrac1n=0$ .

Donc :

\lim_{n \to \infty} v_n = 2