تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Dérivabilité et étude de fonctions

Soit ff une fonction définie sur DD, et (Cf)(C_f) sa courbe dans un repère orthonormé.

aa et bb deux réels

La droite d’équation x=ax=a est un axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g) si :

  • ∀x∈Dg : 2a−x∈Dg\forall x\in D_g ~:~ 2a-x\in D_g
  • g(2a−x)=g(x)g(2a-x)=g(x)

Exercice 9

gg est une fonction numérique définie par : g(x)=1x2−4x+3g(x)=\dfrac{1}{x^2-4x+3}

  1. Déterminer DgD_g le domaine de définition de gg
  2. Montrer que la droite (D)(D) d’équation x=2x=2 est l’axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g)

Correction

Dg={x∈R/ x2−4x+3≠0}D_g=\left\{x\in\R / ~ x^2-4x+3\ne 0\right\}

Soit x∈Rx\in\R; Si x2−4x+3=0x^2-4x+3=0

Δ=b2−4ac=16−12=4\Delta=b^2-4ac=16-12=4
x=−b+Δ2a=3  ou  x=−b−Δ2a=1x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=3 ~~ ou~~ x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=1
Dg=R−{1;3}=]−∞;1[∪]1;3[∪]3;+∞[D_g=\R-\left\{1;3\right\}=]-\infty;1[\cup ]1;3[\cup ]3;+\infty[

  1. Ici ; a=2a=2

    Soit x∈Dgx\in D_g Montrons que 2×2−x∈Dg2\times2-x\in D_g

    Si 4−x∉Dg4-x\notin D_g alors 4−x=14-x=1 ou 4−x=34-x=3

    Donc x=3x=3 ou x=1x=1 absurde car x∈Dgx\in D_g

    ∀x∈Dg   ;   4−x∈Dg\forall x\in D_g ~~~;~~~4-x\in D_g

    Soit x∈Dgx\in D_g montrons que g(4−x)=g(x)g(4-x)=g(x)

    g(4−x)=1(4−x)2−4(4−x)+3=116−8x+x2−16+4x+3=1x2−4x+3=g(x)\begin{align*} g(4-x)=&\frac{1}{(4-x)^2-4(4-x)+3} \\ &=\frac{1}{16-8x+x^2-16+4x+3} \\ &=\frac{1}{x^2-4x+3} \\ &=g(x) \end{align*}

    Donc la droite (D)(D) d’équation x=2x=2 est un axe de symétrie de la courbe (Cg)(C_g)