تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Dérivabilité et étude de fonctions

Exercice 11

ff est une fonction définie par : f(x)=x2+1x2−4f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}

et (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)

  1. Déterminer DfD_f le domaine de définition de la fonction ff
  2. Montrer que ff est paire et déduire un domaine d’étude DED_E de ff
  3. Etudier les branches infinies de (Cf)(C_f)
  4. Montrer que ff est dérivable sur DED_E
  5. Montrer que pour tout x∈DEx\in D_E on a : f′(x)=−10x(x2−4)2f'(x)=\dfrac{-10x}{(x^2-4)^2}
  6. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur DfD_f et dresser le tableau de variations de ff sur DED_E
  7. Ecrire l’équation de la tangente (T)(T) à (Cf)(C_f) au point d’abscisse x0=3x_0=3
  8. Construire la tangente (T)(T) et la courbe (Cf)(C_f)

Correction

1.
x∈Df  ⟺  x2−4≠0x\in D_f \iff x^2-4 \ne 0
x2−4=0  ⟺  (x−2)(x+2)=0  ⟺  x−2=0 ou x+2=0  ⟺  x=2 ou x=−2\begin{align*} x^2-4=0 &\iff (x-2)(x+2)=0 \\ &\iff x-2=0 \text{ ou }x+2=0 \\ &\iff x=2 \text{ ou }x=-2 \end{align*}
Df=R−{−2;2}=]−∞;−2[∪]−2;2[∪]2;+∞[\begin{align*} D_f &=\R-\left\{-2;2\right\} \\ &=]-\infty;-2[\cup]-2;2[\cup]2;+\infty[ \end{align*}
2.

  • On a DfD_f est centré en 00 et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

    Donc ff est paire

  • puisqe ff est paire donc la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

    et donc on peut étudier ff sur DE=[0,2[∪]2;+∞[D_E=[0,2[\cup]2;+\infty[

3.

  • On a : lim⁡x→+∞f(x)=1\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1

    Donc la courbe (Cf)(C_f) admet une asymptote horizontale d’équation y=1y=1 au voisinge de +∞+\infty

  • On a lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty et lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty

    Donc la courbe (Cf)(C_f) admet une asymptote verticale d’équation x=2x=2

4.

ff est dérivable sur DED_E car fonction rationnelle

5.

Soit x∈DEx\in D_E, on a :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)f'(x) =\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}

avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 et v(x)=x2−4v(x)=x^2-4

donc u′(x)=2xu'(x)=2x et v′(x)=2xv'(x)=2x

f′(x)=2x(x2−4)−(x2+1)2x(x2−4)2=2x3−8x−2x3−2x(x2−4)2=−10x(x2−4)2\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{2x(x^2-4)-(x^2+1)2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{2x^3-8x-2x^3-2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \dfrac{-10x}{(x^2-4)^2} \end{align*}
6.

Soit x∈DEx\in D_E

pour tout x∈DEx\in D_E on a ; f′(x)≤0f'(x)\le0

donc ff est décroissante sur DED_E

d’où :

f ( x ) f 0 ( x ) x 0 2 + 1 0 1 4 −1 + 1 1 − −
7.
(T) : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f′(3)(x−3)+f(3)=−65x+285\begin{align*} (T)~:~y&=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \\ &=f'(3)(x-3)+f(3) \\ &=-\dfrac65 x + \dfrac{28}5 \end{align*}
7.

On trace la courbe (Cf)(C_f) sur DED_E , puis on complète en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, puisque ff est une fonction paire.

x = − 2 x = 2 y = 1 ( T ) ( T 0 ) ( C f ) ( C f ) ( C f )