Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, et $x_0\in I$

• si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\ge 0$, alors $(C_f)$ est convexe sur $I$
• si $\forall x\in I \ : \ f''(x)\le 0$, alors $(C_f)$ est concave sur $I$
• si $f''(x_0) = 0$, et $f''$ change de signe au voisinage de $x_0$, alors $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion de la courbe $(C_f)$

Exercice 12

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Montrer que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f''(x) = 12x(x - 2)$.
3. En déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ et déterminer les points d’inflexion de $(C_f)$, lorsqu’ils existent, en justifiant vos réponses.