1/

• Équation caractéristique :
  $$r^2 - 2r + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 4 - 4 = 0$$
• Racine double :
  $$r = 1$$
• Solution générale :
  $$y(x) = (\alpha x + \beta)e^x \quad \text{où } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

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2/

• pour $\alpha=1$ et $\beta=1$ on a $h$ est une solution particulier de $(E)$

• Vérification des conditions initiales :

  $$h(0) = (0 + 1)e^0 = 1$$
  $$\begin{align*} h'(x) &= \left[ (x+1)e^x \right]' \\&= e^x(x+1) + e^x \\&= (x+2)e^x \end{align*}$$
  $$h'(0) = (0 + 2)e^0 = 2$$

Les deux conditions sont bien vérifiées.

Donc $h(x)$ est bien la solution de $(E)$ qui vérifie $h(0) = 1$ et $h'(0) = 2$.