تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Équations différentielles

Exercice 1

  1. Résoudre l’équation différentielle : (E):y′=−3y+6(E) : y' = -3y + 6
  2. Déterminer la solution particulière ff de (E)(E) telle que f(0)=4f(0) = 4

La solution générale de l’équation différentielle :

y′=ay+baveca,b∈R, a≠0y' = ay + b \quad \text{avec} \quad a, b \in \mathbb{R}, \ a \ne 0

est donnée par :

y=Keax−baouˋ K∈Ry = Ke^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}

1/ L’équation (E)(E) est du premier ordre avec a=−3a = -3 et b=6b = 6
La solution générale est donnée par :

y=Ke−3x−6−3=Ke−3x+2ouˋ K∈Ry = Ke^{-3x} - \frac{6}{-3} = Ke^{-3x} + 2 \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}

2/ On cherche ff telle que :

f(x)=Ke−3x+2f(x) = Ke^{-3x} + 2

En utilisant f(0)=4f(0) = 4 :

Ke0+2=4⇒K=2Ke^0 + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad K = 2

Donc :

f(x)=2e−3x+2f(x) = 2e^{-3x} + 2