Équations différentielles

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Équations différentielles

Exercice 2

Résoudre l’équation différentielle : $(E) : y' + 2y = 4$
Déterminer la solution particulière $g$ telle que sa courbe $(C_g)$ passe par le point $A(-\ln(2), 6)$

Correction

La solution générale de l’équation différentielle :
$y' = ay + b \quad \text{avec} \quad a, b \in \mathbb{R}, \ a \ne 0$
est donnée par :
$y = Ke^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}$

1/ On réécrit l’équation $(E)$ sous la forme :

y' = -2y + 4

C’est une équation du premier ordre avec $a = -2$ et $b = 4$ .

La solution générale est donnée par :

y = Ke^{-2x} - \frac{4}{-2} = Ke^{-2x} + 2 \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}

2/ On cherche $g$ telle que :

g(x) = Ke^{-2x} + 2

On utilise le fait que sa courbe $(C_g)$ passe par le point $A(-\ln(2), 6)$ :

g(-\ln(2)) = 6

Donc :

K \cdot e^{-2(-\ln(2))} + 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad K \cdot e^{2\ln(2)} + 2 = 6

Or $e^{2\ln(2)} = (e^{\ln(2)})^2 = 2^2 = 4$
Donc :

4K + 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad 4K = 4 \quad \Rightarrow \quad K = 1

Ainsi, la solution particulière est :

g(x) = e^{-2x} + 2