تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Équations différentielles

Exercice 3 [2016 S.O]

  1. Résoudre l’équation différentielle :
    (E):y′′−3y′+2y=0(E) : y'' - 3y' + 2y = 0
  2. Déterminer la solution gg telle que g(0)=−3g(0) = -3 et g′(0)=−2g'(0) = -2

Soit l’équation différentielle (E):y′′+ay′+by=0(E) : y'' + ay' + by = 0

son équation caractéristique r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0 et Δ=a2−4b\Delta=a^2 - 4b

  • Si Δ>0\Delta > 0, alors l’équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r1r_1 et r2r_2.

La solution générale est :

y=αer1x+βer2xavec α,β∈Ry = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}
  • Si Δ=0\Delta = 0, alors elle admet une solution réelle double rr.

La solution générale est :

y=(αx+β)erxavec α,β∈Ry = (\alpha x + \beta) e^{rx} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}
  • Si Δ<0\Delta < 0, alors les solutions sont complexes conjuguées r1=p+iqr_1 = p + iq et r2=p−iqr_2 = p - iq.

La solution générale est :

y=epx(αcos⁡(qx)+βsin⁡(qx))avec α,β∈Ry = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}

1/ Équation caractéristique :

r2−3r+2=0⇒Δ=1>0r^2 - 3r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \Delta = 1 > 0
r1=2,r2=1r_1 = 2, \quad r_2 = 1

Donc la solution générale est :

y(x)=αex+βe2xy(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}

2/ On cherche g(x)=αex+βe2xg(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x} telle que :

g(0)=−3,g′(0)=−2g(0) = -3, \quad g'(0) = -2
g′(x)=αex+2βe2xg'(x) = \alpha e^x + 2\beta e^{2x}

À x=0x = 0 :

{α+β=−3α+2β=−2⇒{α=−4β=1 \begin{cases} \alpha + \beta = -3 \\ \alpha + 2\beta = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = -4 \\ \beta = 1 \end{cases}

Donc :

g(x)=e2x−4exg(x) = e^{2x} - 4e^x