1. Calculer $f(0)$, $f(-2)$ et $f(3)$

• Pour $x = 0$ et $x=-2$ : Puisque $0 \leq 0$ et $-2 \leq 0$, on utilise la seconde expression de $f(x)$:

$$f(0) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$f(-2) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$

• Pour $x = 3$ : Puisque $3 > 0$, on utilise la première expression de $f(x)$:

$$\begin{align*} f(3) &= \frac{\sqrt{3+1} - 1}{3} \\ &= \frac{\sqrt{4} - 1}{3} = \frac{2 - 1}{3}\\ & = \frac{1}{3} \end{align*}$$

2. Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$

• Pour $x \to -\infty$ : Pour les $x \leq 0$, $f(x) = x + \frac{1}{2}$. Donc :

$$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{2}\right) = -\infty$$

• Pour $x \to +\infty$ : Pour les $x > 0$, $f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$. On effectue une simplification en multipliant par l'expression conjuguée :

$$\begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}\\ &= \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \end{align*}$$

À la limite, lorsque $x \to +\infty$, $\sqrt{x+1}$ devient très grand, donc :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = 0$$

3. Calculer $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$

$$\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) &= \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\\ &=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$ $$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \left(x + \frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

4. Est-ce que $f$ admet une limite en $0$ ?

Oui, $f$ admet une limite en $0$. En effet :

$$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{2}$$

La limite de $f(x)$ en $0$ est donc $\frac{1}{2}$.

5. La fonction $g:x\mapsto\dfrac{|x-1|}{x-1}$ admet-elle une limite en $1$ ?

• Pour $x \to 1^+$ : Lorsque $x > 1$, $|x-1| = x-1$, donc :

$$g(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1$$

• Pour $x \to 1^-$ : Lorsque $x < 1$, $|x-1| = -(x-1)$, donc :

$$g(x) = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$$

Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc $g(x)$ n'admet pas de limite en $x = 1$.