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Soit la fonction $f$ définie par :

\left\{ \begin{matrix} f(x)=\sqrt x &;~x\ge0 \\ f(x)=x^3 &;~x<0\end{matrix} \right.

Calculer $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}f(x)$ et $\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to0}}f(x)$
En déduire $\lim\limits_{x\to0} f(x)$

Correction

Calcul de $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}f(x)$

Sur $]0;+\infty[$ ; $f(x)=\sqrt{x}$

donc $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}f(x)=\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}\sqrt x=0$
Calcul de $\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to0}}f(x)$

Sur $]-\infty;0[$ ; $f(x)=x^3$

donc $\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to0}}f(x)=\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}x^3=0$

Puisque $\lim\limits_{\underset{x>0}{x\to0}}f(x)=\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to0}}f(x)=0$ ,

alors : ~ $\lim\limits_{x\to0} f(x)=0$