📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 10

Calculer les limites suivantes :

  • lim⁡x→+∞(x2−x)\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2-\sqrt{x})
  • lim⁡x→+∞x−2x2+x−1\lim\limits_{x\to +\infty} x-\sqrt{2x^2+x-1}
  • lim⁡x→−∞x+2x2+x−1\lim\limits_{x\to -\infty} x+\sqrt{2x^2+x-1}
  • lim⁡x→+∞x−x2−1\lim\limits_{x\to +\infty} x-\sqrt{x^2-1}
  • lim⁡x→+∞(x2−x)\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - \sqrt{x})
lim⁡x→+∞(x2−x)=lim⁡x→+∞x(x−xx)=lim⁡x→+∞x(1−xx2)=lim⁡x→+∞x(1−1x)=+∞\begin{align*} \lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - \sqrt{x}) &= \lim\limits_{x \to +\infty} x\left(x-\dfrac{\sqrt x}{x}\right) \\ &= \lim\limits_{x \to +\infty} x\left(1-\sqrt{\dfrac{x}{x^2}}\right) \\ &= \lim\limits_{x \to +\infty} x\left(1-\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &=+\infty \end{align*}

car : lim⁡x→+∞1x=0\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac1x=0

  • lim⁡x→+∞(x−2x2+x−1)\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{2x^2 + x - 1} \right)

La limite est quand x→+∞x\to+\infty donc on prend xx positif et donc x2=∣x∣=x\sqrt x^2=|x|=x

x−2x2+x−1=x−x2(2+xx2−1x2)=x−x2+1x−1x2=x(1−2+1x−1x2)\begin{align*} x - \sqrt{2x^2 + x - 1} &= x - \sqrt{x^2 \left( 2 + \frac{x}{x^2} - \frac{1}{x^2} \right)} \\ &=x - x \sqrt{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \\ &=x \left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \right) \end{align*} lim⁡x→+∞x(1−2+1x−1x2)=−∞\begin{align*} \lim\limits_{x \to +\infty} x \left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \right) =-\infty \end{align*}

car :

  • 1x\frac{1}{x} et 1x2\frac{1}{x^2} tendent vers 00 quand xx tend vers +∞+\infty :
  • (1−2)<0\left( 1 - \sqrt{2} \right)<0

Alors

lim⁡x→+∞(x−2x2+x−1)=−∞\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{2x^2 + x - 1} \right) = -\infty}
  • lim⁡x→−∞(x+2x2+x−1)\lim\limits_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{2x^2 + x - 1} \right)

La limite est quand x→−∞x\to-\infty donc on prend xx négatif et donc x2=∣x∣=−x\sqrt x^2=|x|=-x

x+2x2+x−1=x+x2(2+xx2−1x2)=x−x2+xx2−1x2=x(1−2+1x−1x2)\begin{align*} x + \sqrt{2x^2 + x - 1} &= x + \sqrt{x^2 \left( 2 + \frac{x }{x^2} - \frac{1}{x^2} \right)} \\ &=x - x\sqrt{2 + \frac{x }{x^2} - \frac{1}{x^2}} \\ &= x \left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \right) \end{align*} lim⁡x→−∞x(1−2+1x−1x2)=+∞\lim\limits_{x \to -\infty} x \left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \right) =+\infty

car :

  • 1x\frac{1}{x} et 1x2\frac{1}{x^2} tendent vers 00 quand xx tend vers −∞-\infty
  • (1−2)<0\left( 1 - \sqrt{2} \right)<0

Alors

lim⁡x→−∞(x+2x2+x−1)=+∞\boxed{ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{2x^2 + x - 1} \right) =+\infty}
  • lim⁡x→+∞(x−x2−1)\lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{x^2 - 1} \right)

Soit xx

x−x2−1=x2−x2−12x+x2−1=1x+x2−1\begin{align*} x - \sqrt{x^2 - 1} &= \dfrac{x^2 - \sqrt{x^2 - 1}^2}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \\ &= \dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \end{align*} lim⁡x→+∞1x+x2−1=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}=0

Alors :

lim⁡x→+∞(x−x2−1)=0\boxed{ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( x - \sqrt{x^2 - 1} \right) = 0 }