تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Le barycentre

Exercice 5

Soit ABCABC un triangle et GG barycentre des points (A,−2)(A,-2); (B,3)(B,3) et (C,3)(C,3)

Soit KK le barycentre des points (A,−2)(A,-2) et (B;3)(B;3) et HH le barycentre des points (A,−2)(A,-2) et (C,3)(C,3), et II le milieu du segment [BC][BC]

  1. Montrer que :
    • GG est le barycentre de (K,1)(K,1) et (C,3)(C,3)
    • GG est le barycentre de (B,3)(B,3) et (H,1)(H,1)
    • GG le barycentre de (A,−1)(A,-1) et (I,3)(I,3)
  2. En déduire que les droites (CK)(CK) , (BH)(BH) et (AI)(AI) sont concourantes en un point qu’on déterminera.

  • On a KK est barycentre de (A,−2)(A,-2) et (B;3)(B;3)

    et GG est le barycentre de (A,−2)(A,-2); (B,3)(B,3) et (C,3)(C,3)

    Donc GG est le barycentre de (C;3)(C;3) et (K;−2+3)(K;-2+3)

    (d’aprés l’associativité du barycentre)

    Alors : Gestlebarycentredeest le barycentre de(C;3)etet(K;1)$

  • De même H=bary{(A,−2),(C,3)}H=bary\{(A, -2),(C, 3)\}

    et G=bary{(A,−2),(B,3),(C,3)}G=bary\{(A, -2),(B, 3),(C,3)\}

    Donc G=bary{(B,1),(H,−2+3)}=bary{(B,3),(H,1)}G=bary\{(B, 1),(H, -2+3)\}=bary\{(B, 3),(H, 1)\}

  • II est le milieu de [BC][BC], donc I=bary{(B,3),(C,3)}I=bary\{(B, 3),(C, 3)\}

    et GG est le barycentre de (A,−2)(A,-2); (B,3)(B,3) et (C,3)(C,3)

    Donc G=bary{(A,−2),(I,6)}=bary{(A,−1),(I,3)}G=bary\{(A, -2),(I, 6)\}=bary\{(A, -1),(I, 3)\}

  1. On a GG barycentre de (K;1)(K;1) et (C;3)(C;3)

    Donc G∈(CK)G\in(CK) et de même G∈(AI)G\in(AI) et G∈(BH)G\in(BH)

    D’où, les droites (CK)(CK), (BH)(BH) et (AI)(AI) sont concourantes au point GG