Méthode : Pour montrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$, il suffit de montrer que :

• $a+b+c=\ne0$
• $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

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1. on a :

   $$\begin{align*} &2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{GB} \\ &\iff 2(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC})-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} \\ &\iff -\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0} \\ &\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \end{align*}$$

   or : $1+1+2=4\ne0$ donc $G$ est le barycentre de $(A,1)$ , $(B,1)$ et $(C,2)$

2. Contruction de $G$

   On a : $G$ est le barycentre de $(A,1)$ , $(B,1)$ et $(C,2)$

   D’aprés la propriété caractéristique :

   pour tout $M$ du plan on a : $(2+1+1)\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$

   En posant $M=A$, on obtient : $(2+1+1)\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

   $$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

   D’où la construction de $G$