La droite dans le plan | نون الرياضيات

تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : La droite dans le plan

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Exercice 3 (activité)

Soit $(D)$ la droite passant par les deux points $A(1;-1)$ et $B(-2;1)$

et $M(x;y)$ est un point de $(D)$ avec $x,y\in\R$

Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$
Montrer que $\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=2x+3y+1$
En déduire que : $2x+3y+1=0$

Correction

$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc $\overrightarrow{AB}(-3;2)$
On a $\overrightarrow{AM}(x_M-x_A;y_M-y_A)$ donc $\overrightarrow{AM}(x-1;y+1)$

\begin{align*} \det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}) &=\left|\begin{matrix} x-1 & -3 \\ y+1 & 2 \end{matrix}\right| \\ &=2(x-1)-(-3)(y+1) \\ &=2x+3y+1 \end{align*}

On a les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires car les points $A,B\text{ et }M$ sont alignés

et donc $\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0$

d’où : $2+3y+1=0$

l’équation $2x+3y+1=0$ s’appelle l’équation cartésienne de la droite $(D)$