On a : $1+x^2>x^2$,

donc $\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}$ et donc $\sqrt{1+x^2}>|x|$

D’où : $A>0$

on a : $A>0$

donc $A+2|x|>2|x|$

donc $\sqrt{1+x^2}-|x|+2|x|>2|x|$

D’où : $B>2|x|$

Donc : $AB=1$

On a : $B=\frac1A$ et $B>2|x|$

Donc : $\frac1A>2|x|$

Alors : $A<\frac1{2|x|}$

D’aprés les questions précédentes:

on a : $0<A<\frac1{2|x|}$

Donc : $0<\sqrt{1+x^2}-|x|<\frac1{2|x|}$

D’où : $|x|<\sqrt{1+x^2}<|x|+\frac1{2|x|}$

On a : $|x|<\sqrt{1+x^2}<|x|+\frac1{2|x|}$

pour $x=11$ on a : $|11|<\sqrt{11^2+1}<|11|+\frac1{2|11|}$

Donc : $11<\sqrt{122}<\frac{243}{22}$,

Alors $\frac{11}{3}<\frac{\sqrt{122}}{3}<\frac{243}{66}$ est un encadrement de $\frac{\sqrt{122}}{3}$ d’amplitude $\frac{243}{22}-\frac{11}{3}=\frac{1}{66}$