تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : L'ordre dans R

Exercice 11

Soit xx un élément de [−13,13]\left[-\frac13,\frac13\right]

  1. Vérifier que :
1+x1+2x−(1−x)=2x21+2x\frac{1+x}{1+2x}-(1-x)=\frac{2x^2}{1+2x}
  1. Montrer que : 21+2x≤6\frac{2}{1+2x}\le6 et déduire que :
∣1+x1+2x−(1−x)∣≤6x2\left|\frac{1+x}{1+2x}-(1-x)\right|\le6x^2
  1. Déduire que 45\frac45 est une approximation par défaut du nombre 1,21,4\frac{1,2}{1,4} à 2,4.10−12,4.10^{-1}

  1. on a :

    1+x1+2x−(1−x)=1+x−(1−x)(1+2x)1+2x=1+x−1−2x+x+2x21+2x=2x21+2x\begin{align*} \frac{1+x}{1+2x}-(1-x) &=\frac{1+x-(1-x)(1+2x)}{1+2x}\\ &=\frac{1+x-1-2x+x+2x^2}{1+2x}\\ &=\frac{2x^2}{1+2x} \end{align*}

  2. On a : x∈[−13,13]x\in\left[-\frac13,\frac13\right] donc −13≤x≤13-\frac13 \le x \le \frac13

    Alors : −23≤2x≤23-\frac23 \le 2x \le \frac23

    donc : 1−23≤1+2x≤1+231-\frac23 \le 1+2x \le 1+\frac23

    donc : 13≤1+2x≤53\frac13 \le 1+2x \le \frac53

    donc : 35≤11+2x≤3\frac35 \le \frac1{1+2x} \le 3

    D’où : 21+2x≤6\frac2{1+2x} \le 6

    on a : 21+2x≤6\frac{2}{1+2x}\le6 et x2≥0x^2\ge0 donc 2x21+2x≤6x2\frac{2x^2}{1+2x}\le6x^2

    donc ∣2x21+2x∣≤∣6x2∣\left|\frac{2x^2}{1+2x}\right|\le |6x^2|

    donc ∣2x21+2x∣≤∣6∣∣x2∣\left|\frac{2x^2}{1+2x}\right|\le |6||x^2|

    donc ∣2x21+2x∣≤6x2\left|\frac{2x^2}{1+2x}\right|\le 6x^2

    en utilisant la qustion (1.) alors ∣1+x1+2x−(1−x)∣≤6x2\left|\frac{1+x}{1+2x}-(1-x)\right|\le6x^2

  3. on a 0,2∈[−13,13]0,2\in\left[-\frac13,\frac13\right],

    donc pour x=0,2x=0,2 on a :

    ∣1+0,21+2(0,2)−(1−0,2)∣≤6(0,2)2\left|\frac{1+0,2}{1+2(0,2)}-(1-0,2)\right|\le6(0,2)^2

    ∣1,21,4−0,8∣≤6(2.10−1)2\left|\frac{1,2}{1,4}-0,8\right|\le6(2.10^{-1})^2

    ∣1,21,4−810∣≤24.10−2\left|\frac{1,2}{1,4}-\frac{8}{10}\right|\le24.10^{-2}

    ∣1,21,4−45∣≤2,4.10−1\left|\frac{1,2}{1,4}-\frac{4}{5}\right|\le2,4.10^{-1}

    D’ou : 45\frac45 est une approximation par défaut du nombre 1,21,4\frac{1,2}{1,4} à 2,4×10−12,4\times10^{-1}