📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

Soit ABCABC un triangle rectangle en BB, II est le milieu de [BC][BC]

Soit GG un point de [AI][AI] tel que : GA→=−2GI→\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI} et soit HH la projection orthogonale du point GG sur (BC)(BC)

Montrer que HB→=−2HI→\overrightarrow{HB}=-2\overrightarrow{HI} puis déduire que BH→=13BC→\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}

A C B I ² ² G H

ABCABC est un triangle rectangle en BB, donc

  • B est le projeté orthogonale de A sur (BC)
  • H est le projeté orthogonale de G sur B
  • I est le projeté orthogonale de I sur (BC)

et comme : GA→=−2GI→\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI} donc : HB→=−2HI→\overrightarrow{HB}=-2\overrightarrow{HI} car la projection conserve le coefficient de colinéarité

On a : BH→=−HB→=2HI→=2(HB→+BI→)=2HB→+2BI→\overrightarrow{BH}=-\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{HI}=2\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BI}\right)=2\overrightarrow{HB}+2\overrightarrow{BI}

BH→−2HB→=2BI→\overrightarrow{BH}-2\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{BI}

Signifie que :

3BH→=2BI→=BC→3\overrightarrow{BH}=2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}

car II est le milieu de [BC][BC] ~~ : (BC→=2BI→)(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI})

d’où :

BH→=13BC→\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}