📝 Exercices de la série▼
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Exercice 3

Soit ABCD un quadrilatère convexe, MM est un point de [AC][AC] (M≠A et M≠C)(M\neq A \text{ et } M\neq C)

La droite qui passe par MM et parallèle à la droite (CD)(CD) coupe (AD)(AD) en EE.

La droite qui passe par MM et parallèle à la droite (BC)(BC) coupe (AB)(AB) en II.

  1. Montrer que AIAB=AEAD\frac{AI}{AB}=\frac{AE}{AD}
  2. En déduire que (BD)//(EI)\left(BD\right) // (EI)
D E A I B C M

    2. En considérant le triangle ABCABC, on a (IM)//(BC)\left(IM\right)// (BC)

    et d’après le théorème de Thales on a :

    AIAB=AMAC    (1)\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AC}~~~~ (1)

    En considérant le triangle ~ADCADC, on a (EM)//(DC)\left(EM\right)//(DC)

    et d’après le théorème de Thales on a :

    AMAC=AEAD    (2)\frac{AM}{AC}=\frac{AE}{AD}~~~~ (2)

    De (1) et (2) on déduit que :

    AIAB=AEAD\frac{AI}{AB}=\frac{AE}{AD}

  2. On a :

    • AIAB=AEAD\frac{AI}{AB}=\frac{AE}{AD}

    • et on a les points AA, II et BB, et les points AA, EE et DD sont dans le même ordre

    Alors (BD)//(EI)\left(BD\right)//(EI) (Réciproque de Thales)