📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

activité

Soit (D)(D) et (Δ)(\Delta) deux droites sécantes en AA

M et N deux points de (Δ)(\Delta) tels que : AM→=2AC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC} et AN→=−3AC→\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AC}

( D ) (Δ) A B C
  1. Construire MM et NN
  2. Construire M′M' et N′N^{'} les projeté du points MM et NN respectivement parallèle à (BC)(BC) sur (Δ)(\Delta)
  3. Montrer que : AM′AB=2\frac{AM^{'}}{AB}=2 et AN′AB=3\frac{AN^{'}}{AB}=3
  4. En déduire que AM′→=2AB→\overrightarrow{AM^{'}}=2\overrightarrow{AB} et AN′→=−3AB→\overrightarrow{AN^{'}}=-3\overrightarrow{AB}
  1. et 2.
( D ) (Δ) A B C M N M ' N '

  • Considérons le triangle AMM′AMM^{'}, on a (BC) //(MM′)\left(BC\right)\ // (MM^{'})

    donc d’après Théorème de Thales :

    AM′AB=AMAC\frac{AM{'}}{AB}=\frac{AM}{AC}

    Et on a AM→=2AC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC} donc AM=2ACAM=2AC

    et donc :

    AM′AB=2ACAC=2\frac{AM^{'}}{AB}=\frac{2AC}{AC}=2

  • Considérons le triangle ABCABC, on a (NN′)//(BC)\left(NN^{'}\right) // (BC)

    donc d’après Théorème de Thales :

    AN′AB=ANAC\frac{AN^{'}}{AB}=\frac{AN}{AC}

    Et on a AN→=−3AC→\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AC} donc AN=3ACAN=3AC

    et donc :

    AN′AB=3ACAC=3\frac{AN^{'}}{AB}=\frac{3AC}{AC}=3

  • On a AM′AB=2\frac{AM^{'}}{AB}=2 donc AM′=2ABAM^{'}=2AB

    Les vecteurs AM′→\overrightarrow{AM^{'}} et AB→\overrightarrow{AB} ont la même direction, le même sens et AM′=2ABAM^{'}=2AB, donc

    AM′→=2AB→\overrightarrow{AM^{'}}=2\overrightarrow{AB}

  • On a AN′AB=3\frac{AN{'}}{AB}=3 donc AN′=3ABAN^{'}=3AB

Les vecteurs AN′→\overrightarrow{AN^{'}} et AB→\overrightarrow{AB} ont la même direction, des sens opposés et AN′=3ABAN^{'}=3AB, donc

AN′→=−3AB→\overrightarrow{AN^{'}}=-3\overrightarrow{AB}

Remarques et propriété

( D ) (Δ) A B C M N M ' N '

On note pp la projection sur (AB)(AB) parallèlement à (BC)(BC)

Donc : p(A)=Ap\left(A\right)=A , p(C)=Bp\left(C\right)=B et p(M)=M′p\left(M\right)=M^{'}

On a AM→=2AC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC} et on a trouvé : AM′→=2AB→\overrightarrow{AM^{'}}=2\overrightarrow{AB}

De même : p(A)=Ap\left(A\right)=A , p(C)=Bp\left(C\right)=B et p(N)=N′p\left(N\right)=N^{'}

On a AN→=−3AC→\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AC} et on a trouvé : AN′→=−3AB→\overrightarrow{AN^{'}}=-3\overrightarrow{AB}

On dit que la projection parallèle conserve le coefficient de colinéarité.