1. Le théorème d’Al-Kashi s’écrit comme suit :

   $$\begin{align*} AB^2 &= CA^2 + CB^2 - 2 \times CA \times CB \times \cos(\widehat{ACB})\\ &= CA^2 + CB^2 - 2\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \end{align*}$$

   Donc

   $$\begin{align*} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}&=\dfrac{CA^2 + CB^2-AB^2}{2}\\ &=\dfrac{CB^2}{2}\\&=\dfrac{27}2 \end{align*}$$

2. On sait que : $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos(\widehat{ACB})$

   $$\begin{align*} \cos(\widehat{ACB}) &=\dfrac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{CA.CB} \\ &= \dfrac{\frac{27}2}{3\times3\sqrt3}\\ &=\dfrac{\sqrt3}2 \end{align*}$$

   Donc, $\widehat{ACB} = \dfrac{\pi}{6}$ ou $30^\circ$.

3. Comme $ABC$ est un triangle isocèle, les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ sont égaux. La somme des angles dans un triangle étant de $180^\circ$, on a :

   $$\begin{align*} \widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} &= \pi \\ 2\widehat{CAB} + \frac\pi6 &= \pi \\ 2\widehat{CAB} &= \pi-\frac\pi6 \\ \widehat{CAB} &= \frac{5\pi}{12} \end{align*}$$

Ainsi, $\widehat{ACB} = \dfrac\pi6$ et $\widehat{CAB} = \dfrac{5\pi}{12}$.