a. Vérification que : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -1$ :

On utilise la formule du produit scalaire :

Nous avons :

• $AB = 3$,
• $AC = 1$,
• $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{-1}{3}$.

En remplaçant dans la formule :

b. Calcul de la distance $BC$ :

On utilise le théorème d’Al-Kashi dans le triangle $ABC$ :

En remplaçant les valeurs :

Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[AC]$.

a. Calcul de $AI$ et $BJ$ :

• Calcul de $AI$ :

  Le point $I$ est le milieu de $[BC]$, donc d’après le théorème de la médiane, on a :

  $$AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}$$
  $$AI^2 = \dfrac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$$
  $$AI^2 = \dfrac{2 \times 3^2 + 2 \times 1^2 - 12}{4} = 2$$

  Alors, $AI = \sqrt{2}$.

• Calcul de $BJ$ :

  Le point $J$ est le milieu de $[AC]$, donc d’après le théorème de la médiane, on a :

  $$AB^2 + BC^2 = 2BJ^2 + \dfrac{AC^2}{2}$$
  $$BJ^2 = \dfrac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}$$
  $$BJ^2 = \dfrac{2 \times 3^2 + 2 \times 12 - 1}{4} = \dfrac{41}{4}$$

  Alors, $BJ = \dfrac{\sqrt{41}}{2}$.

b. Calcul de $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$

On sait que :

En développant le produit scalaire :

En réarrangeant :

Nous avons :

• $IA = \sqrt{2}$,
• $IB = \dfrac{BC}{2} = \sqrt{3}$,
• $AB = 3$.

En remplaçant dans la formule :

Soit $E$ un point du plan tel que : $\overrightarrow{AE} = \frac{4}{9} \overrightarrow{AB}$.

a. Calcul du vecteur $\overrightarrow{IE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

b. Montrer que les droites $(AB)$ et $(IE)$ sont perpendiculaires :

Pour montrer que $(AB)$ et $(IE)$ sont perpendiculaires, il suffit de montrer que leur produit scalaire est nul. On a :

Ce qui donne :

En remplaçant les valeurs :

Ainsi, les droites $(AB)$ et $(IE)$ sont perpendiculaires.