1. Calcul des distances $BD$ et $AC$ :

• Calcul de $BD$ :

  Utilisons le théorème d’Al-Kashi dans le triangle $ABD$ :

  $$\begin{align*} BD^2 &= AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\widehat{BAD})\\ &=6^2+4^2-2\times6\times4\cos\dfrac\pi3 \\ &=36 + 16 - 48 \times \frac{1}{2}\\ &=28 \end{align*}$$
  $$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

• Calcul de $AC$ :

  Utilisons la même approche dans le triangle $ACD$

  $$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos(\widehat{ADC})$$

  et on a : $\widehat{ADC}+\widehat{BAD}=\pi$

  donc : $\widehat{BAD}=\pi-\dfrac\pi3=\dfrac{2\pi}3$

  et donc : $\cos(\widehat{ADC})=\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12$

  En remplaçant les valeurs :

  $$AC^2 = 4^2 + 6^2 + 2 \times 4 \times 6 \times \frac{1}{2}$$
  $$AC^2 = 16 + 36 + 24 = 76$$
  $$AC = \sqrt{76}$$

2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, $MA^2 + MB^2 = 2MO^2 + 18$ :

on a : $O$ est milieu de [AB]

en appliquant le thorème de la médiane dans le triangle $MAB$

alors :

3. En déduire l’ensemble des points $M$ du plan tel que $MA^2 + MB^2 = 24$ :

Nous savons maintenant que :

Si $MA^2 + MB^2 = 24$, alors :

En résolvant cette équation pour $MO^2$ :

Ainsi, $MO = \sqrt{3}$.

L’ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 24$ est donc un cercle de rayon $\sqrt{3}$ centré en $O$.