📝 Exercices de la série▼
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Exercice 6

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ff dans chacun des cas suivantes

  1. f(x)=1xln(x+2)\quad f(x)=\dfrac{1}{x}ln(x+2)
  2. f(x)=ln(x2−4)\quad f(x)=ln(x^2-4)
  3. f(x)=ln(x2+x+3)\quad f(x)=ln(x^2+x+3)
  4. f(x)=ln(3x+1)+ln(x+2)\quad f(x)=ln(3x+1)+ln(x+2)
  5. f(x)=ln[(3x+1)(x+2)]\quad f(x)=ln[(3x+1)(x+2)]
  6. f(x)=ln(2x−1x+1)\quad f(x)=ln(\dfrac{2x-1}{x+1})
  7. f(x)=ln(2x−1)ln(x+1)\quad f(x)=\dfrac{ln(2x-1)}{ln(x+1)}
  8. f(x)=ln∣x−1x+1∣\quad f(x)=ln|\dfrac{x-1}{x+1}|

Soit ff, déterminer Df\mathcal{D}_f.

1. f(x)=1xln⁡(x+2)\quad f(x) = \dfrac{1}{x} \ln(x+2)

x∈Df  ⟺  x≠0 et x>−2x \in \mathcal{D}_f \iff x \ne 0\text{ et }x > -2   ⟹  Df=]−2;0[∪]0;+∞[\implies\mathcal{D}_f = ]-2;0[ \cup ]0;+\infty[

2. f(x)=ln⁡(x2−4)\quad f(x) = \ln(x^2 - 4)

x∈Df  ⟺  x2−4>0x \in \mathcal{D}_f \iff x^2 - 4 > 0

On a :

x2−4=0  ⟺  (x−2)(x+2)=0  ⟺  x−2=0 ou x+2=0  ⟺  x=2 ou x=−2\begin{align*} x^2 - 4 =0 &\iff (x - 2)(x + 2)=0 \\ &\iff x-2=0 \text{ ou } x+2=0 \\ &\iff x=2 \text{ ou } x=-2 \end{align*}

Signe de x2−4x^2 - 4 :

xx−∞-\infty−2-222+∞+\infty
x2−4x^2 - 4+0–0+

Donc

Df=]−∞;−2[∪]2;+∞[\mathcal{D}_f = ]-\infty; -2[ \cup ]2; +\infty[

3. f(x)=ln⁡(2x2−x+3)\quad f(x) = \ln(2x^2 - x + 3)

x∈Df  ⟺  2x2−x+3>0x \in \mathcal{D}_f \iff 2x^2 - x + 3 > 0

On résout 2x2−x+3=02x^2 - x + 3 = 0

Δ=(−1)2−4⋅2⋅3=1−24=−23<0\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23 < 0

Le polynôme ne s'annule pas sur R\mathbb{R}

et a=2>0  ⟹  2x2−x+3>0a = 2 > 0 \implies 2x^2 - x + 3 > 0 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}

Donc

Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}

4. f(x)=ln⁡(3x+1)+ln⁡(x+2)\quad f(x) = \ln(3x + 1) + \ln(x + 2)

x∈Df  ⟺  3x+1>0 et x+2>0  ⟺  x>−13 et x>−2\begin{aligned} x \in \mathcal{D}_f &\iff 3x + 1 > 0\text{ et } x + 2 > 0 \\ &\iff x > -\dfrac{1}{3} \text{ et } x > -2 \end{aligned}

Or

−13>−2  ⟹  Df=]−13;+∞[-\dfrac{1}{3} > -2 \implies \mathcal{D}_f = ]-\dfrac{1}{3}; +\infty[

5. f(x)=ln⁡[(3x+1)(x+2)]\quad f(x) = \ln\left[(3x + 1)(x + 2)\right]

x∈Df  ⟺  (3x+1)(x+2)>0x \in \mathcal{D}_f \iff (3x + 1)(x + 2) > 0

On résout (3x+1)(x+2)=0  ⟺  x=−13(3x + 1)(x + 2) = 0 \iff x = -\dfrac{1}{3} ou x=−2x = -2

Signe de (3x+1)(x+2)(3x + 1)(x + 2) :

xx−∞-\infty−2-2−13-\dfrac{1}{3}+∞+\infty
(3x+1)(x+2)(3x + 1)(x + 2)+0–0+

Donc

Df=]−∞;−2[∪]−13;+∞[\mathcal{D}_f = ]-\infty; -2[ \cup \left]-\dfrac{1}{3}; +\infty\right[

6. f(x)=ln⁡(2x−1x+1)\quad f(x) = \ln\left(\dfrac{2x - 1}{x + 1}\right)

On cherche :

x∈Df  ⟺  x≠−1et2x−1x+1>0x \in \mathcal{D}_f \iff x \ne -1 \quad \text{et} \quad \dfrac{2x - 1}{x + 1} > 0

on sait que

signe(AB)=signe(A×B)   avec B≠0\text{signe}\left(\dfrac AB\right)=\text{signe}\left(A\times B\right) ~~ \text{ avec } B\ne0

Donc 2x−1x+1\dfrac{2x - 1}{x + 1} et (2x−1)(x+1)(2x - 1)(x + 1) ont le même signe.

xx−∞-\infty−1-112\dfrac{1}{2}+∞+\infty
(2x−1)(x+1)(2x - 1)(x + 1)+0–0+

D'où :

Df=]−∞,−1[∪]12,+∞[\mathcal{D}_f = \left] -\infty, -1 \right[ \cup \left] \dfrac{1}{2}, +\infty \right[

7. f(x)=ln⁡(2x−1)ln⁡(x+1)\quad f(x) = \dfrac{\ln(2x - 1)}{\ln(x + 1)}

On cherche :

x∈Df  ⟺  {x>12x>−1ln⁡(x+1)≠0x \in \mathcal{D}_f \iff \begin{cases} x > \dfrac{1}{2} \\ x > -1 \\ \ln(x + 1) \ne 0 \end{cases}

Or,

ln⁡(x+1)=0  ⟺  x+1=1  ⟺  x=0 \ln(x + 1) = 0 \iff x + 1 = 1 \iff x = 0

Donc :

Df=]12,+∞[\mathcal{D}_f = \left] \dfrac{1}{2}, +\infty \right[

8. f(x)=ln⁡∣x−1x+1∣\quad f(x) = \ln\left| \dfrac{x - 1}{x + 1} \right|

x∈Df  ⟺  x+1≠0etx−1x+1≠0  ⟺  x≠−1etx−1≠0  ⟺  x≠−1etx≠1\begin{align*} x \in \mathcal{D}_f &\iff x +1\ne 0 \quad \text{et} \quad \dfrac{x - 1}{x + 1} \ne 0\\ &\iff x\ne-1 \quad\text{et}\quad x-1\ne0 \\ &\iff x\ne-1 \quad\text{et}\quad x\ne1 \end{align*}

Donc :

Df=R∖{−1,1}=]−∞,−1[∪]−1,1[∪]1,+∞[\begin{align*} \mathcal{D}_f &= \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \\&= \left] -\infty, -1 \right[ \cup \left] -1, 1 \right[ \cup \left] 1, +\infty \right[ \end{align*}