Exercice 1 Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ∙ f:x↦ln(x+1)\bullet~~ f : x \mapsto \ln(x+1)∙ f:x↦ln(x+1) ∙ g:x↦ln(−x+1x−2)\bullet~~ g : x \mapsto \ln\left(\dfrac{-x+1}{x-2}\right)∙ g:x↦ln(x−2−x+1) Résoudre dans R\mathbb{R}R les inéquations : ∙ ln(x+1)≤0\bullet~~ \ln(x+1) \le 0∙ ln(x+1)≤0 ∙ ln(−x+1)−ln(x+3)<0\bullet~~ \ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0∙ ln(−x+1)−ln(x+3)<0 Correction Les ensembles de définition : Df={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D_f &= \{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}Df={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[ Dg={x∈R∣x≠2 et −x+1x−2>0}=]1;2[\begin{align*} D_g &= \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne 2 \text{ et } \dfrac{-x+1}{x-2} > 0 \right\} \\ &= ]1;2[ \end{align*}Dg={x∈R∣x=2 et x−2−x+1>0}=]1;2[ Résolution : ln(x+1)≤0\ln(x+1) \le 0ln(x+1)≤0 Domaine de définition D={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid x + 1 > 0\} \\&= ]-1;+\infty[ \end{align*}D={x∈R∣x+1>0}=]−1;+∞[ Soit x∈]−1;+∞[x\in]-1;+\infty[x∈]−1;+∞[ ln(x+1)≤0 ⟺ ln(x+1)≤ln(1) ⟺ x+1≤1 ⟺ x≤0 ⟺ x∈]−∞,0[\begin{align*} \ln(x+1) \le 0 &\iff \ln(x+1) \le \ln(1) \\&\iff x+1 \le 1 \\ & \iff x \le 0 \\&\iff x\in]-\infty,0[ \end{align*}ln(x+1)≤0⟺ln(x+1)≤ln(1)⟺x+1≤1⟺x≤0⟺x∈]−∞,0[ Donc x∈]−1;+∞[ et x∈]−∞,0[ ⟺ x∈]−1;+∞[∩]−∞;0] ⟺ x∈]−1;0]\begin{align*} &x\in]-1;+\infty[\text{ et }x\in]-\infty,0[\\ &\iff x \in ]-1;+\infty[ \cap ]-\infty;0] \\ &\iff x\in]-1;0] \end{align*}x∈]−1;+∞[ et x∈]−∞,0[⟺x∈]−1;+∞[∩]−∞;0]⟺x∈]−1;0] Ensemble solution : S=]−1;0]S = ]-1;0]S=]−1;0] ln(−x+1)−ln(x+3)<0\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0 ln(−x+1)−ln(x+3)<0 Domaine de définition D={x∈R∣−x+1>0 et x+3>0}={x∈R∣x<1 et x>−3}=]−3;1[\begin{align*} D &=\{x \in \mathbb{R} \mid -x + 1 > 0\text{ et } x+3>0 \} \\ &=\{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\text{ et } x>-3 \} \\ &= ]-3;1[ \end{align*}D={x∈R∣−x+1>0 et x+3>0}={x∈R∣x<1 et x>−3}=]−3;1[ Soit x∈]−3;1[x\in ]-3;1[x∈]−3;1[ ln(−x+1)−ln(x+3)<0 ⟺ ln(−x+1)<ln(x+3) ⟺ −x+1<x+3 ⟺ −2x<2 ⟺ x>−1 ⟺ x∈]−1;+∞[\begin{align*} &\ln(-x+1) - \ln(x+3) < 0\\ &\iff \ln(-x+1) < \ln(x+3)\\ &\iff -x+1<x+3\\ &\iff -2x<2 \\ &\iff x>-1\\ &\iff x\in]-1;+\infty[ \end{align*}ln(−x+1)−ln(x+3)<0⟺ln(−x+1)<ln(x+3)⟺−x+1<x+3⟺−2x<2⟺x>−1⟺x∈]−1;+∞[ Donc x∈]−3;1[ et x∈]−1;+∞[x\in ]-3;1[ \text{ et } x\in]-1;+\infty[ x∈]−3;1[ et x∈]−1;+∞[ x∈]−1;1[x\in]-1;1[x∈]−1;1[ Ensemble solution : S=]−1;1[S = ]-1;1[S=]−1;1[