📝 Exercices de la série▼
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Exercice 5 : Étude de la fonction ln⁡\ln

On considère la fonction ff définie sur son domaine par :

f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x)

On note (Cf)(C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Questions

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction ln⁡\ln.

  2. Donner les limites de ln⁡(x)\ln(x) aux bornes de son domaine.

  3. Étudier les branches infinies de la courbe (Cf)(C_f).

  4. Étudier les variations de la fonction ln⁡(x)\ln(x) sur son domaine.

  5. Étudier le signe de ln⁡(x)\ln(x) sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

  6. Résoudre l'équation ln⁡(x)=1\ln(x) = 1.

  7. Déterminer l'équation de la tangente (T)(T) à la courbe (Cf)(C_f) au point d’abscisse 11.

  8. Étudier la concavité de la courbe (Cf)(C_f).

  9. Construire la tangente (T)(T) et la courbe (Cf)(C_f).

  • Domaine de définition : Dln⁡=]0;+∞[\bf D_{\ln}=]0;+\infty[

  • Limites au bornes de Dln⁡D_{\ln} : lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty et lim⁡x→+∞ln⁡(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty

  • Les branches infinies de (Cf)\bf (C_f)

    • lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty donc la droite d'équation x=0x=0 est une asymptote verticale à la courbe (Cf)(C_f)
    • lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=+\infty donc la courbe (Cf)(C_f) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de +∞+\infty

  • Les variations : la fonction ln⁡\ln est dérivable sur ]0;+∞[]0;+\infty[ et on a : f′(x)=ln⁡′(x)=1xf'(x)=\ln'(x)=\dfrac{1}{x}
    Donc ln⁡′(x)>0\ln'(x)>0 pour tout x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[, par suite ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[

    x01+∞lnʹ(x)ln(x)+−∞+∞0

  • Signe de ln⁡x\bf\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[

    x01+∞ln(x)−+0

  • L'équation ln⁡(x)=1\bf \ln(x)=1
    On a la fonction ln⁡\ln est continue et croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[
    Comme ln⁡(]0;+∞[)=]−∞;+∞[\ln(]0;+\infty[)=]-\infty;+\infty[, donc 1∈ln⁡(]0;+∞[)1\in \ln(]0;+\infty[)
    Alors l'équation ln⁡(x)=1\ln(x)=1 admet une unique solution dans ]0;+∞[]0;+\infty[.
    On note cette solution par ee, et sa valeur approchée est e≃2.718e\simeq2.718

  • L'équation de la tangente (T)\bf (T) à (Cf)\bf (C_f) au point d’abscisse 1\bf1

    (T): y=f′(1)(x−1)+f(1)=ln⁡′(1)(x−1)+ln⁡(1)=x−1\begin{aligned} (T):~y &= f'(1)(x-1)+f(1) \\ &= \ln'(1)(x-1)+\ln(1) \\ &= x-1 \end{aligned}

    Donc (T): y=x−1(T):~y = x - 1

  • Concavité de (Cf)\bf (C_f)
    On a ln⁡′′(x)=−1x2\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} pour tout xx de ]0;+∞[]0;+\infty[
    Donc ln⁡′′(x)<0\ln''(x)<0 pour tout xx de ]0;+∞[]0;+\infty[
    Alors la courbe (Cf)(C_f) de la fonction ln⁡\ln est concave sur ]0;+∞[]0;+\infty[

  • Construction de la courbe (Cf)\bf (C_f)

    O⃗i⃗j(Cf)