📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

Déterminer DfD_f et Df′D_{f'}, puis calculer f′f' dans les cas suivants
∙  f(x)=ln(1−x2)          ∙  f(x)=ln(x2+x+1)\bullet ~~ f(x)=ln(1-x^2)~~~~~~~~~~ \bullet ~~f(x)=ln(x^2+x+1)

  • f(x)=ln⁡(1−x2)f(x)=\ln(1-x^2)

    Df={x∈R / 1−x2>0}={x∈R / (1−x)(1+x)>0}=]−1;1[=Df′\begin{aligned} D_f&=\left\{x\in\R ~/~ 1-x^2>0\right\}\\ &=\left\{x\in\R ~/~ (1-x)(1+x)>0\right\}\\ &=\left]-1;1\right[=D_{f'} \end{aligned}

    Pour tout x∈Dfx\in D_f on a f′(x)=ln⁡′(1−x2)=−2x1−x2f'(x)=\ln'(1-x^2)=\dfrac{-2x}{1-x^2}

  • f(x)=ln⁡(x2+x+1)f(x)=\ln(x^2+x+1)

    Df={x∈R / x2+x+1>0}D_f=\left\{x\in\R ~/~ x^2+x+1>0\right\}

    Si x2+x+1=0x^2+x+1=0

    on a : Δ=b2−4ac=−3\Delta=b^2-4ac=-3

    Donc comme a=1>0a=1>0

    alors ∀x∈R\forall x\in\R ; x2+x+1>0x^2+x+1>0

    Df=RD_f=\R

    Pour tout x∈Rx\in\R on a :

    f′(x)=ln⁡′(x2+x+1)=2x+1x2+x+1\begin{aligned} f'(x)&=\ln'(x^2+x+1)\\&=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \end{aligned}