Soit l'équation différentielle $(E) : y'' + ay' + by = 0$

son équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ et $\Delta=a^2 - 4b$

• Si $\Delta > 0$, alors l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$.
  La solution générale est :

$$y = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

• Si $\Delta = 0$, alors elle admet une solution réelle double $r$.
  La solution générale est :

$$y = (\alpha x + \beta) e^{rx} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

• Si $\Delta < 0$, alors les solutions sont complexes conjuguées $r_1 = p + iq$ et $r_2 = p - iq$.
  La solution générale est :

$$y = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

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1/ Équation caractéristique :

$$r^2 - 4r + 4 = 0 \Rightarrow \Delta = 0$$ $$r = 2$$

Solution générale :

$$y(x) = (\alpha x + \beta) e^{2x}$$

2/ On cherche $f(x) = (\alpha x + \beta) e^{2x}$ avec :

$$f'(x) = \left( \alpha + 2\alpha x + 2\beta \right) e^{2x}$$

À $x = 0$ :

$$\begin{cases} f(0) = \beta = 2 \\[4pt] f'(0) = \alpha + 2\beta = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \beta = 2 \\[4pt] \alpha + 4 = 0 \Rightarrow \alpha = -4 \end{cases}$$

Donc :

$$f(x) = (-4x + 2) e^{2x}$$