La solution générale de l'équation différentielle :

$$y' = ay + b \quad \text{avec} \quad a, b \in \mathbb{R}, \ a \ne 0$$

est donnée par :

$$y = Ke^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}$$

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1/ On réécrit l'équation $(E)$ sous la forme :

$$y' = -2y + 4$$

C'est une équation du premier ordre avec $a = -2$ et $b = 4$.

La solution générale est donnée par :

$$y = Ke^{-2x} - \frac{4}{-2} = Ke^{-2x} + 2 \quad \text{où} \ K \in \mathbb{R}$$

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2/ On cherche $g$ telle que :

$$g(x) = Ke^{-2x} + 2$$

On utilise le fait que sa courbe $(C_g)$ passe par le point $A(-\ln(2), 6)$ :

$$g(-\ln(2)) = 6$$

Donc :

$$K \cdot e^{-2(-\ln(2))} + 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad K \cdot e^{2\ln(2)} + 2 = 6$$

Or $e^{2\ln(2)} = (e^{\ln(2)})^2 = 2^2 = 4$
Donc :

$$4K + 2 = 6 \quad \Rightarrow \quad 4K = 4 \quad \Rightarrow \quad K = 1$$

Ainsi, la solution particulière est :

$$g(x) = e^{-2x} + 2$$