Soit l'équation différentielle $(E) : y'' + ay' + by = 0$

son équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ et $\Delta=a^2 - 4b$

• Si $\Delta > 0$, alors l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$.
  La solution générale est :

$$y = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

• Si $\Delta = 0$, alors elle admet une solution réelle double $r$.
  La solution générale est :

$$y = (\alpha x + \beta) e^{rx} \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

• Si $\Delta < 0$, alors les solutions sont complexes conjuguées $r_1 = p + iq$ et $r_2 = p - iq$.
  La solution générale est :

$$y = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad \text{avec } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

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1/ Équation caractéristique :

$$r^2 - 3r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \Delta = 1 > 0$$ $$r_1 = 2, \quad r_2 = 1$$

Donc la solution générale est :

$$y(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$$

2/ On cherche $g(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$ telle que :

$$g(0) = -3, \quad g'(0) = -2$$ $$g'(x) = \alpha e^x + 2\beta e^{2x}$$

À $x = 0$ :

$$\begin{cases} \alpha + \beta = -3 \\ \alpha + 2\beta = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha = -4 \\ \beta = 1 \end{cases}$$

Donc :

$$g(x) = e^{2x} - 4e^x$$