Calcul de probabilités

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Calcul de probabilités

Exercice 6 (S.O.2023)

Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0$ ; $0$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres: $1$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$ .

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.

On considère l’expérience aléatoire suivante :

« On tire une boule de l’urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu’elle porte, puis on la met dans l’urne $U_2$ , ensuite on tire une boule de l’urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu’elle porte »

On considère les événements suivants :

$A$ : “la boule tirée de l’urne $U_1$ porte le nombre 1”
$B$ : “le produit $ab$ est égal à 2 ”

a) Calculer $p(A);$ la probabilité de l’événement A.

b) Montrer que $p(B)=\dfrac{1}{4}$ (On peut utiliser l’arbre des possibilités)
Calculer $p(A/B)$ ; probabilité de l’événement $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l’expérience, le produit $ab$

a) Montrer que $p(X=0)=\dfrac13$

b) Donner la loi de probabilité de $X$ (Remarquer que les valeurs prises par $X$ sont : 0 ; 1 ; 2 et 4)

c) On considère les événements :
- M : ” le produit $ab$ est pair non nul”
- et N : “le produit $ab$ est égal à 1 ”
Montrer que les événements $M$ et $N$ sont équiprobables

Correction

1/a probabilité de $A$ ?

Les boules de $U_1$ sont : $\{0,0,1,1,1,2\}$

Nombre de boule porte 1 est $3$

Donc $p(A)=\dfrac36=\dfrac12$

b/ probabilité de $B$ ?

$B$ : “le produit $ab$ est égal à 2 ”

Donc ( $a=1$ et $b=2$ ) ou ( $a=2$ et $b=1$ )

d’aprés l’arbre :

$p(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{4}$

p(B/A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

$A\cap B$ , on tire $a=1$ puis $b=2$

de l’arbre (voir cercle en vert) : $p(A\cap B)=\dfrac36\times\dfrac26=\dfrac16$

p(B/A)=\dfrac{\frac16}{\frac14}=\dfrac23

3/a

Méthode 1

On a $X=0$ si la boule tirée de $U_1$ la boule qui porte $0$

$U_1$ contient 2 boules qui portent $0$ parmi $6$ donc

p(X=0)=\dfrac26=\dfrac13

Méthode 2

on peut calculer a partir de l’arbre

\begin{align*} P(X=0) &=\dfrac26\times\dfrac26+\dfrac26\times\dfrac36+\dfrac26\times\dfrac16\\~\\ &=\dfrac26\left(\dfrac26+\dfrac36+\dfrac16\right) \\~\\ &=\dfrac13 \end{align*}

On a $X = ab$ , donc :

$X = 0 \implies a = 0,\ b=?$
$X = 1 \implies a = b = 1$
$X = 2 \implies \begin{cases}a = 1 \text{ et } b = 2 \\\text{ou}\\ a = 2 \text{ et } b = 1 \end{cases}$
$X = 4 \implies a = b = 2$

on a

$p(X=0)=\dfrac13$
$p(X=2)=p(B)=\dfrac14$

et d’aprés l’arbre :

$p(X=1)=\dfrac36\times\dfrac46=\dfrac13$
$p(X=4)=\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac1{12}$

Résumé

$x$	0	1	2	4
$p(X = x)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{12}$

M : ” le produit $ab$ est pair non nul”

donc $ab=2$ ou $ab=4$
$\begin{align*} p(M) &=p(X=2)+p(X=4)\\&=\dfrac14+\dfrac1{12} \\ &=\dfrac13 \end{align*}$
N : “le produit $ab$ est égal à 1 ”

$p(N)=p(X=1)=\dfrac13$

et donc $p(M)=p(N)$

$\implies$ les événements $M$ et $N$ sont équiprobables