Calcul de probabilités

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.

On considère les trois événements suivants :

Correction

🔵 Chaque tirage est un arrangement sans répétition de 2 éléments parmi 6
Donc :
$Card(\Omega) = A_{6}^2 = 6 \times 5 = 30$

1/ $\quad p(A)=\dfrac{2}{5}$ ?

$A$ : « Les deux boules tirées sont rouges »

Card(A)=A_4^2=4\times 3=12

\implies p(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}

2/ $\quad p(B)=\dfrac{4}{15}$ ?

$B$ : « La première boule tirée est noire et la deuxième est rouge »

Card(B)=A_1^4\times A_2^1=4\times 2=8

\implies p(B)=\dfrac{Card(B)}{Card(\Omega)}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}

3/ $\quad p(C)=\dfrac{8}{15}$ ?

$C$ : « L’une des boules tirées est noire et l’autre est rouge »

\begin{align*} Card(C) &=2A_1^4\times A_2^1\\&=2\times 4\times 2\\&=16 \end{align*}

\implies p(C)=\dfrac{Card(C)}{Card(\Omega)}=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}

Deux événements $B$ et $C$ sont indépendants si :

p(B \cap C) = p(B) \cdot p(C)

Mais $B \subset C$ , donc :

p(B \cap C) = p(B) = \frac{4}{15}

Et :

p(B) \cdot p(C) = \frac{4}{15} \cdot \frac{8}{15} = \frac{32}{225}

Or :

\frac{32}{225} \ne \frac{4}{15}

Donc $B$ et $C$ ne sont pas indépendants.

A B C ❌

p(A)=\dfrac46\times\dfrac35=\dfrac25

p(B)=\dfrac26\times\dfrac45=\dfrac4{15}

\begin{align*} p(C)&=\dfrac46\times\dfrac25+\dfrac26\times\dfrac45\\ &=\dfrac8{15} \end{align*}

B\cap C=B

p(B)p(C)\ne p(B)

car $p(C)\ne 1$

donc $p(B\cap C)\ne p(B).p(C)$

et donc $A$ et $B$ ne sont pas inépendants