🔵 Chaque tirage est une combinaison de 3 éléments parmi 9
Donc :

$$Card(\Omega) = C_{9}^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2} = 84$$

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1/

a/

Probabilité de A : “3 boules de même couleur” donc $\left\{R,R,R\right\}$ ou $\left\{B,B,B\right\}$

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Probabilité de B :

B : “3 boules portant le même nombre” donc $\left\{1,1,1\right\}$ ou $\left\{2,2,2\right\}$

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Probabilité de C :

C : “3 boules de même couleur et même nombre”

Deux cas possibles :

• Trois boules rouges portant le même nombre :
  → il y a trois boules rouges portant le nombre 2
  → une seule combinaison : $C_3^3 = 1$
• Trois boules blanches portant le même nombre :
  → trois boules blanches portant le nombre 2 → $C_3^3 = 1$

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2/ Expérience répétée 3 fois avec remise – variable $X$

a/ Loi de $X$

La variable $X$ compte le nombre de fois où A se réalise sur 3 répétitions.

Chaque répétition est indépendante, avec même probabilité $p = p(A) = \frac{1}{6}$

La variable $X$, suit une loi binomiale de paramètres : $n=3$ et $p = \frac{1}{6}$

Donc $X \sim \mathcal{B}(n=3, p=\frac{1}{6})$

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b/ Calcul de $p(X = 1)$ et $p(X = 2)$

Formule de la loi binomiale :

• Pour $X = 1$ :

  $$\begin{align*} p(X = 1) &= C_{3}^{1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2\\ &= \frac{75}{216} = \boxed{\frac{25}{72}} \end{align*}$$

• Pour $X = 2$ :

  $$\begin{align*} p(X = 2) &= C_3^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \frac{5}{6}\\ &= \frac{15}{216} = \boxed{\frac{5}{72}} \end{align*}$$