الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة الإستدراكية 2026

Exercice 3 (2.5 points):

Une urne contient quatre boules blanches numérotées : 0; 0; 1; 1 et deux boules noires numérotées : 0; 1. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

On considère les événements suivants :

$A$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur. »
$B$ : « La somme des nombres portés par les deux boules tirées est égale à 2. »

1.a. Montrer que $p(A)=\frac{7}{15}$ .

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Calculons d'abord $\text{Card}(\Omega)$ avec $\Omega$ est l'univers :

Chaque tirage est un arrangement de 2 boules parmi 6 donc :

\text{Card}(\Omega) = A_{6}^{2} = 6 \times 5 = 30

L'événement $A$ est réalisé si on tire deux boules blanches $\{B, B\}$ ou deux boules noires $\{N, N\}$ .

\begin{aligned} \text{Card}(A) &= A_{4}^{2} + A_{2}^{2} \\ &= (4 \times 3) + (2 \times 1) \\ &= 12 + 2 = 14 \end{aligned}

D'où :

p(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}

1.b. Montrer que $p(B)=\frac{1}{5}$ .

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Comptons les boules portant chaque numéro dans l'urne :

Boules portant le numéro 0 : deux blanches et une noire, soit ${\color{red}3 \text{ boules}}$ .
Boules portant le numéro 1 : deux blanches et une noire, soit ${\color{red}3 \text{ boules}}$ .

Pour que la somme des nombres portés par les deux boules tirées soit égale à 2, il faut nécessairement obtenir la boule numéro 1 au premier tirage et la boule numéro 1 au second tirage, noté $\{1, 1\}$ .

\text{Card}(B) = A_{3}^{2} = 3 \times 2 = 6

D'où la probabilité :

p(B) = \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}

2. Montrer que la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé est $p(B/A)=\frac{1}{7}$ .

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Par définition, la probabilité conditionnelle est donnée par :

p(B/A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}

L'événement $A \cap B$ signifie : « Les deux boules tirées sont de même couleur et la somme de leurs numéros est égale à 2 ». Ce qui revient à tirer :

Deux boules blanches portant le numéro 1, noté $\{B_1, B_1\}$ .
Ou deux boules noires portant le numéro 1. Or, l'urne ne contient qu'une seule boule noire portant le numéro 1, ce cas est donc impossible (le tirage étant sans remise).

Puisqu'il y a 2 boules blanches portant le numéro 1 dans l'urne :

\text{Card}(A \cap B) = A_{2}^{2} = 2 \times 1 = 2

p(A \cap B) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}

On en déduit :

p(B/A) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{7}{15}} = \frac{1}{15} \times \frac{15}{7} = \frac{1}{7}

3. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque tirage, associe la somme des nombres portés par les deux boules tirées.

3.a. Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

$x_{i}$	0	1	2
$p(X=x_{i})$

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Puisque les boules de l'urne portent uniquement les numéros 0 ou 1, les sommes possibles lors du tirage de deux boules sont bien $0$ , $1$ et $2$ .

Pour $X = 2$ : l'événement est identique à l'événement $B$ . D'après la question 1.b :

p(X = 2) = p(B) = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}

Pour $X = 0$ : est réalisé si on tire deux boules portant le numéro 0, soit $\{0, 0\}$ . Comme il y a 3 boules numérotées 0 dans l'urne :

\text{Card}(X = 0) = A_{3}^{2} = 3 \times 2 = 6

p(X = 0) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}

Pour $X = 1$ : est réalisé si on tire une boule numéro 0 en premier et une boule numéro 1 en second, ou inversement, c'est-à-dire $\{0, 1\}$ ou $\{1, 0\}$ .

\begin{aligned} \text{Card}(X = 1) &= \left(A_{3}^{1} \times A_{3}^{1}\right) + \left(A_{3}^{1} \times A_{3}^{1}\right) \\ &= (3 \times 3) + (3 \times 3) \\ &= 9 + 9 = 18 \end{aligned}

p(X = 1) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

(Vérification : $\frac{6}{30} + \frac{18}{30} + \frac{6}{30} = \frac{30}{30} = 1$ )

Le tableau complété de la loi de probabilité de $X$ est :

$x_{i}$	0	1	2
$p(X=x_{i})$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

3.b. Montrer que l'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=1$ .

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Par définition, l'espérance mathématique $E(X)$ est calculée ainsi :

\begin{aligned} E(X) &= \sum \left(x_{i} \times p(X=x_{i})\right) \\ &= 0 \times p(X=0) + 1 \times p(X=1) + 2 \times p(X=2) \\ &= 0 \times \frac{1}{5} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{1}{5} \\ &= 0 + \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \\ &= \frac{5}{5} = 1 \end{aligned}