الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة الإستدراكية 2026

---

Exercice 1 (3 points):

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(1,1,1)$, $B(2,0,1)$ et $C(-2,-2,4)$. Soit (P) le plan d'équation $x+y-2z+12=0$.

1.a. Montrer que $\vec{OA}\wedge\vec{OB}=\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$.

1.b. Déduire que les plans (P) et (OAB) sont parallèles.

1.c. Vérifier que: $\begin{cases}x=t\\ y=t\\ z=-2t\end{cases} ~;~(t\in\mathbb{R})$ est une représentation paramétrique de la droite (OC).

1.d. Vérifier que $C\in(P)$ et montrer que la droite (OC) est orthogonale au plan (P).

2. Soit (S) la sphère de centre $\Omega(a,b,c)$, tangente au plan (P) au point C et coupée par le plan (OAB) suivant un cercle ( ) de centre O et de rayon $r=4\sqrt{3}$.

2.a. Vérifier que $\Omega\in(OC)$ et déduire que $a=b$ et $c=-2a$.

2.b. Montrer que $O\Omega=|a|\sqrt{6}$.

2.c. Vérifier que $d(\Omega,(P))=|a+2|\sqrt{6}$.

2.d. Montrer que $a=1$ (Remarquer que $\Omega C^{2}-\Omega O^{2}=48)$ puis déduire les coordonnées de $\Omega$ et le rayon R de la sphère (S).

---

Exercice 2 (3.5 points):

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives: $a=\sqrt{3}+i$, $b=\overline{a}$ et $c=2\sqrt{3}$.

1.a. Montrer que $\frac{a-c}{a}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1.b. Écrire le nombre complexe $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2};$ sous forme trigonométrique.

2. Soit R la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $z^{\prime}=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a$ .

2.a. Vérifier que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

2.b. Montrer que $R(O)=C$.

3. Soit D le point d'affixe d tel que $R(B)=D$.

3.a. Montrer que $d=2\sqrt{3}+2i$ et déduire que les points A, D et O sont alignés.

3.b. Montrer que $\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}$.

3.c. Montrer que $OB=DC$.

3.d. Déduire que le quadrilatère OBCD est un trapèze isocèle.

---

Exercice 3 (2.5 points):

Une urne contient quatre boules blanches numérotées: 0;0;1;1 et deux boules noires numérotées: 0; 1. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

On considère les évènements suivants :

• A: <<< Les deux boules tirées sont de même couleur. >>>

• B: << La somme des nombres portés par les deux boules tirées est égale à 2. »

1.a. Montrer que $p(A)=\frac{7}{15}$.

1.b. Montrer que $p(B)=\frac{1}{5}$.

2. Montrer que la probabilité de B sachant que A est réalisé est $p(B/A)=\frac{1}{7}$.

3. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque tirage, associe la somme des nombres portés par les deux boules tirées.

3.a. Copier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

$x_{i}$	0	1	2
$p(X=x_{i})$

3.b. Montrer que l'espérance de la variable aléatoire X est $E(X)=1$.

---

Problème (11 points):

Partie I:

On considère la fonction numérique g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{2x}-1$.

1.a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $g(x)=0$.

1.b. Vérifier que $g(x)<0$ sur $]-\infty, 0[$ et que $g(x)>0$ sur $]0,+\infty[$.

2. Montrer que $\int_{-\ln 2}^{\ln 2}|g(x)|dx=\frac{9}{8}$.

Partie II:

On considère la fonction numérique définie par $f(x)=x-\ln 2+\ln(1+e^{-2x})$. Soit $(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. Vérifier que la fonction f est définie sur $\mathbb{R}$.

2.a. Montrer que f est une fonction paire.

2.b. Vérifier que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$ et déduire $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.

3.a. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x-\ln 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_{f})$ au voisinage de $+\infty$.

3.b. Déduire que la droite $(\Delta^{\prime})$ d'équation $y=-x-\ln 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_{f})$ au voisinage de $-\infty$.

4.a. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{1+e^{2x}}$.

4.b. Déduire que f est strictement croissante sur l'intervalle $[0,+\infty[$ et strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty,0]$. (On peut utiliser la question 1 de la Partie I.)

5.a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $f(x)=x$.

5.b. Montrer pour tout $x$ de $[0,+\infty[ : f(x)\le x$.

5.c. Etudier la position de la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $[0,+\infty[$.

5.d. Déduire que pour tout $x$ de $[0,+\infty[$ : $0\le f(x)-(x-\ln 2)\le \ln 2$.

6. Le graphique ci-dessous représente la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ de la fonction f sur $[0,+\infty[$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

6.a. Reproduire le graphique ci-dessus puis tracer dans le même repère, la droite $(\Delta^{\prime})$ et compléter la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ de la fonction f sur l'intervalle $]-\infty,0]$.

6.b. Soit $\mathcal{A}$, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par $(\mathcal{C}_{f})$, la droite $(\Delta)$, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Montrer que $0\le \mathcal{A} \le \ln 2$.

7. Soit $\varphi$ la restriction de la fonction f sur l'intervalle $[0,+\infty[$.

7.a. Montrer que $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (L'expression de $\varphi^{-1}(x)$ n'est pas demandée.)

7.b. Vérifier que $\varphi^{-1}(\ln(\frac{5}{4}))=\ln 2$.

7.c. Montrer que $\varphi^{-1}$ est dérivable en $\ln(\frac{5}{4})$ et que $(\varphi^{-1})^{\prime}(\ln(\frac{5}{4}))=\frac{5}{3}$.

Partie III

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0}=\ln 2$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$, pour tout entier naturel n.

1. Montrer par récurrence que $0\le u_{n}\le \ln 2$, pour tout n de $\mathbb{N}$.

2. Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante. (On peut utiliser la question 5.b de la Partie II.)

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.