الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة الإستدراكية 2026

On a : $\quad\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\quad$ et $\quad \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Donc :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \vec{k} \\ &= (1 - 0)\vec{i} - (1 - 2)\vec{j} + (0 - 2)\vec{k} \\ &= \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \end{aligned}$$

On a $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(OAB)$.

De plus, l'équation cartésienne du plan $(P)$ est $x + y - 2z + 12 = 0$. Le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est donc un vecteur normal au plan $(P)$.

Puisque $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \vec{n}$, les deux plans $(OAB)$ et $(P)$ partagent le même vecteur normal (ou des vecteurs normaux colinéaires).

Alors $(P) \parallel (OAB)$.

La droite $(OC)$ passe par le point $O(0, 0, 0)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{OC} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.

On remarque que $\overrightarrow{OC} = -2\vec{u}$ avec $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est donc également un vecteur directeur de la droite $(OC)$.

Ainsi, pour tout point $M(x, y, z) \in (OC)$, il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{OM} = t\vec{u}$, ce qui se traduit par :

$$\begin{cases} x = x_O + t \times 1 \\ y = y_O + t \times 1 \\ z = z_O + t \times (-2) \end{cases} \implies \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = -2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Cette dernière est bien une représentation paramétrique de la droite $(OC)$.

Vérifions que $C \in (P)$ : On a $C(-2, -2, 4)$ et $(P) : x + y - 2z + 12 = 0$.

En remplaçant les coordonnées de $C$ dans l'équation de $(P)$ :

$$x_C + y_C - 2z_C + 12 = -2 + (-2) - 2(4) + 12 = -4 - 8 + 12 = 0$$

Donc $C \in (P)$.

Montrons que $(OC) \perp (P)$ : Le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(OC)$ (d'après 1.c).

Le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(P)$ (d'après 1.b).

Puisque $\vec{u} = \vec{n}$, le vecteur directeur de la droite $(OC)$ est colinéaire (ici égal) au vecteur normal du plan $(P)$.

Alors la droite $(OC)$ est orthogonale au plan $(P)$.

on a $(P)$ est tangente à $(S)$ en $C$ donc $(\Omega C) \perp (P)$

on a d'aprés la question 1.d : $(OC)\perp (P)$

donc les droits $(\Omega C)$ et $(OC)$ sont confondues.

et donc $\Omega \in (OC)$

Puisque $\Omega(a, b, c) \in (OC)$, les coordonnées de $\Omega$ vérifient la représentation paramétrique de $(OC)$ établie en 1.c. Il existe donc un réel $t$ tel que :

$$\begin{cases} a = t \\ b = t \\ c = -2t \end{cases}$$

On en déduit que $a = b$ et $c = -2a$.

On a $O(0, 0, 0)$ et d'après 2.a, $\Omega(a, a, -2a)$.

$$\begin{aligned} O\Omega &= \sqrt{(x_\Omega - x_O)^2 + (y_\Omega - y_O)^2 + (z_\Omega - z_O)^2} \\ &= \sqrt{a^2 + a^2 + (-2a)^2} \\ &= \sqrt{2a^2 + 4a^2} \\ &= \sqrt{6a^2} \\ &= |a|\sqrt{6} \end{aligned}$$

Donc $O\Omega = |a|\sqrt{6}$.

On a $\Omega(a, a, -2a)$ et le plan $(P) : x + y - 2z + 12 = 0$.

$$\begin{aligned} d(\Omega, (P)) &= \frac{|a + a - 2(-2a) + 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} \\ &= \frac{|2a + 4a + 12|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} \\ &= \frac{|6a + 12|}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{6|a + 2|}{\sqrt{6}} \\ &= \sqrt{6}|a + 2| \end{aligned}$$

Donc $d(\Omega, (P)) = |a+2|\sqrt{6}$.

le plan $(OAB)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle de rayon :

$$r=\sqrt{R^2-d^2} \qquad \text{ avec : }d=d(\Omega,(OAB))=\Omega O$$

et on a $d(\Omega , (P))=\Omega C=R$ et $r=4\sqrt3$

donc

$$4\sqrt3=\sqrt{\Omega C^2-\Omega O^2}$$ $$(4\sqrt3)^2=\Omega C^2-\Omega O^2$$ $$\Omega C^2-\Omega O^2=48$$

et on a :

• $\Omega C=d(\Omega,(P)=|a+2|\sqrt6$
• $\Omega O = |a|\sqrt6$

donc

$$(|a+2|\sqrt6)^2-(|a|\sqrt6)^2=48$$ $$6(a+2)^2-6a^2=48$$ $$6(a^2+4a+4)-6a^2=48$$ $$6a^2+24a+24-6a^2=48$$ $$24a=48-24$$ $$a=1$$

et on a $\Omega(a,a,-2a)$ donc $\Omega(1,1,-2)$

$$\begin{aligned} R &= \Omega C = d(\Omega, (P)) \\ &= \sqrt{6}|1 + 2| \\ &= 3\sqrt{6} \end{aligned}$$

Donc, le centre de la sphère $(S)$ est $\Omega(1, 1, -2)$ et son rayon est $R = 3\sqrt{6}$.