Sujetexercice 1exercice 2exercice 3Problème

الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة الإستدراكية 2026

Exercice 2 (3.5 points):

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O,\vec{u},\vec{v}), on considère les points AA, BB et CC d'affixes respectives : a=3+ia=\sqrt{3}+i, b=a‾b=\overline{a} et c=23c=2\sqrt{3}.

1.a. Montrer que a−ca=−12+i32\frac{a-c}{a}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

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On a a=3+ia=\sqrt{3}+i et c=23c=2\sqrt{3}.

Calculons a−ca\frac{a-c}{a} :

a−ca=3+i−233+i=−3+i3+i=(−3+i)(3−i)(3+i)(3−i)=−3+2i3+13+1=−24+i234=−12+i32\begin{aligned} \frac{a-c}{a} &= \frac{\sqrt{3} + i - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i} \\ &= \frac{-\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i} \\ &= \frac{(-\sqrt{3} + i){\color{red}(\sqrt{3} - i)}}{(\sqrt{3} + i){\color{red}(\sqrt{3} - i)}} \\ &= \frac{-3 + 2i\sqrt{3} + 1}{3 + 1} \\ &= -\frac{2}{4} + i\frac{2\sqrt{3}}{4} \\ &= -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

1.b. Écrire le nombre complexe −12+i32-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} sous forme trigonométrique.

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−12+i32=−cos⁡π3+isin⁡π3=cos⁡(π−π3)+isin⁡(π−π3)=cos⁡(2π3)+isin⁡(2π3)\begin{aligned} -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} &=-\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3 \\ &= \cos\left(\pi-\frac\pi3\right)+i\sin\left(\pi-\frac\pi3\right) \\ &=\cos\left(\frac{2\pi}3\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}3\right) \end{aligned}

(Sous forme exponentielle, c'est ei2π3e^{i\frac{2\pi}{3}}).

2. Soit RR la transformation du plan qui, à tout point MM d'affixe zz, associe le point M′M' d'affixe z′z' tel que z′=ei2π3(z−a)+az'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a.

2.a. Vérifier que RR est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.

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On a : z′=ei2π3(z−a)+az'=e^{i\frac{2\pi}{3}}(z-a)+a

donc

z′−a=ei2π3(z−a)z' - a = e^{i\frac{2\pi}{3}}(z - a)

Cette écriture est de la forme z′−ω=eiθ(z−ω)z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega), qui est l'expression complexe d'une rotation.

On en déduit que RR est une rotation de centre le point d'affixe aa (c'est-à-dire le point AA) et d'angle θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3}.

2.b. Montrer que R(O)=CR(O)=C.

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Soit OO l'origine du repère, d'affixe z=0z = 0. Son image par RR a pour affixe z′z' tel que :

z′=ei2π3(0−a)+a=−aei2π3+a=a(1−ei2π3)(*)\begin{aligned} z' &= e^{i\frac{2\pi}{3}}(0 - a) + a \\ &= -a e^{i\frac{2\pi}{3}} + a \\ &= a\left(1 - e^{i\frac{2\pi}{3}}\right) \qquad \color{red}\textbf{(*)} \end{aligned}

D'après les questions 1.a et 1.b, on sait que :

a−ca=ei2π3\frac{a-c}{a} = e^{i\frac{2\pi}{3}}

Donc :

a−c=aei2π3c=a−aei2π3c=a(1−ei2π3)\begin{aligned} a - c &= a e^{i\frac{2\pi}{3}} \\ c &= a - a e^{i\frac{2\pi}{3}} \\ c &= a\left(1 - e^{i\frac{2\pi}{3}}\right) \end{aligned}

d'après (*) on déduit que z′=cz' = c.

Ainsi, l'image du point OO par la rotation RR est le point CC, c'est-à-dire R(O)=CR(O) = C.

3. Soit DD le point d'affixe dd tel que R(B)=DR(B)=D.

3.a. Montrer que d=23+2id=2\sqrt{3}+2i et déduire que les points AA, DD et OO sont alignés.

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  • Calcul de dd :

    R(B)=D  ⟺  d−a=ei2π3(b−a)  ⟺  d=ei2π3(b−a)+ad=(−12+i32)(3−i−3−i)+a=−2i(−12+i32)+a=i+3+3+i=23+2i\begin{aligned} &R(B) = D \iff d-a=e^{i\frac{2\pi}{3}}(b - a) \\ &\iff d = e^{i\frac{2\pi}{3}}(b - a) + a \\ &d=\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3} - i-\sqrt{3} - i) +a \\ &=-2i\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) +a \\ &=i+\sqrt3 +\sqrt3+i \\ &=2\sqrt3+2i \end{aligned}

  • Alignement des points AA, DD et OO :

    d−0a−0=da=23+2i3+i=2(3+i)3+i=2\frac{d - 0}{a - 0}=\frac{d}{a} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{\sqrt{3} + i} = \frac{2(\sqrt{3} + i)}{\sqrt{3} + i} = 2

    Puisque d−0a−0=2∈R\frac{d - 0}{a - 0} = 2 \in \mathbb{R}, les vecteurs OD→\overrightarrow{OD} et OA→\overrightarrow{OA} sont colinéaires (OD→=2OA→\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OA}). Par conséquent, les points OO, AA et DD sont alignés.

3.b. Montrer que c−bd=12\frac{c-b}{d}=\frac{1}{2}.

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On a c=23c = 2\sqrt{3} et b=3−ib = \sqrt{3} - i. Calculons c−bc - b :

c−b=23−(3−i)=3+ic - b = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3} - i) = \sqrt{3} + i

Et on a trouvé que d=23+2i=2(3+i)d = 2\sqrt{3} + 2i = 2(\sqrt{3} + i).

Donc :

c−bd=3+i2(3+i)=12\frac{c - b}{d} = \frac{\sqrt{3} + i}{2(\sqrt{3} + i)} = \frac{1}{2}

3.c. Montrer que OB=DCOB=DC.

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OB=∣b−0∣=∣3−i∣=(3)2+(−1)2=3+1=4=2\begin{aligned} OB & = |b - 0| = |\sqrt{3} - i| \\ &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} \\ &= \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \end{aligned} DC=∣c−d∣=∣23−(23+2i)∣=∣−2i∣=02+(−2)2=4=2\begin{aligned} DC &= |c - d| = |2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 2i)| \\ &= |-2i| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{4} = 2 \end{aligned}

On a bien OB=2OB = 2 et DC=2DC = 2, donc OB=DCOB = DC.

3.d. Déduire que le quadrilatère OBCDOBCD est un trapèze isocèle.

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D'après la question 3.b, on a c−bd−0=12\frac{c - b}{d - 0} = \frac{1}{2}.

Donc c−b=12(d−0)c - b=\frac{1}{2}(d-0)

donc BC→=12OD→\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{OD}

donc les droites (BC)(BC) et (OD)(OD) sont parallèles.

et d'aprés la question 3.c : OB=DCOB = DC

Alors OBCDOBCD est un trapèze isocèle

ODCB