Partie 1

1. Déterminer $D_h$, le domaine de définition de $h$

Pour que $h$ soit définie, l’expression sous la racine carrée doit être non négative :

Cela implique :

Donc, le domaine de définition de $h$ est :

2. soit $x\in D_h$

on remarque que : $h(-1)=1$

Donc :

Alors $h(-1)=1$ est une valeur minimale de $h$ sur $D_h$

Partie 2

1. Déterminer $D_f$ et $D_g$

Pour $f(x) = x^2 - 2x + 2$, le domaine est :

Pour $g(x) = \sqrt{x + 2}$, le domaine est :

2. La nature de $(C_f)$ et ses éléments caractéristiques

La forme canonique de $f(x)$ est :

$(C_f)$ est la parabole de sommet S(1, 1) et d’axe de symétrie $x=1$

3. puisque le coefficient de $x^2$ est positive alors :

• $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1]$
• $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$

Tableau de variations de $f$ :

4. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$

Pour $g(x) = \sqrt{x + 2}$ :

Tableau de variations de $g$ :

5. Construire $(C_f)$ et $(C_g)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$

• $(C_f)$ : Parabole, sommet en $(1, 1)$, axe de symétrie $x = 1$.
• $(C_g)$ : Demi-parabole, débutant en $(-2, 0)$, croissante.

6. Déterminer graphiquement $g([-1; 0])$ et $g([1; +\infty[)$

• $g([-1; 0])$ :

Donc, $g([-1; 0]) = [1, \sqrt{2}]$.

• $g([1; +\infty[)$ :

Et pour $x > 1$, $g(x)$ croît indéfiniment.

Donc :

Partie 3

1. Vérifier que $\forall x \in \mathbb{D}_h : \ h(x) = (f \circ g)(x)$

Calculons $(f \circ g)(x)$ :

Donc :

2. Étudier la monotonie de $f$ et $g$ sur les intervalles $[-2; -1]$ et $[-1; +\infty[$

on a $g$ est croissante sur $[-2;+\infty[$

• Sur $[-2; -1]$
  • $f$ est décroissante
  • $g$ est croissante

Donc $h=f \circ g$ est décroissante sur $[-2; -1]$

• Sur $[-1; +\infty]$
  • $f$ est croissante sur $[g(-1);+\infty[$
  • $g$ est croissante

Donc $h=f \circ g$ est croissante sur $[-1; +\infty[$

Tableau de variations de $h$ :