Pour le système

$$(S)~:~\left\{\begin{matrix} 2x+3y=1 \\ -4x+y=-9 \end{matrix}\right.$$

On a

$$~~ \begin{align*} D &=\left|\begin{matrix} 2&3 \\ -4 &1 \end{matrix}\right| \\ &=2\times1-(-4)\times3 \\ &=14 \end{align*}$$

Comme $D\ne0$, alors le système $(S)$ admet une seule solution.

$$\begin{align*} D_x &=\left|\begin{matrix} 1&3 \\ -9 &1 \end{matrix}\right| \\ &=1\times1-(-9)\times3 \\ &=28 \end{align*}$$ $$\begin{align*} ~~ D_y&=\left|\begin{matrix} 2&1 \\ -4 &-9 \end{matrix}\right| \\ &=2\times(-9)-(-4)\times1 \\ &=-14 \end{align*}$$ $$x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{28}{14}=2~~~\text{ et }~~y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-14}{14}=-1$$

et donc la solution du système $(S)$ est le couple $(2;-1)$

Par suite l'ensemble des solutions du système $(S)$ est :

$$S=\left\{(2;-1)\right\}$$