On note le symbole $\iff$ qui se lit "si et seulement si " ou bien "équivaut à"

• $3x+2=x-4$

$$\begin{align*} 3x+2=x-4 &\iff 3x-x=-4-2 \\ &\iff 2x=-6 \\ & \iff x=\frac{-6}{2} \\ & \iff x=-3 \end{align*}$$

L'ensemble des solutions de l'équation est :

$S=\left\{-3\right\}$

• $2(x-1)=2x-3$

$$\begin{align*} 2(x-1)=2x-3 & \iff 2x-2=2x-3\\ & \iff 2x-2x=-3+2 \\ & \iff 0=-1 \text{ impossible} \end{align*}$$

L'équation n'a pas de solution

• $x(x-1)=(x-1)^2+x-1$

$$\begin{align*} &x(x-1)=(x-1)^2+x-1\\ &\iff x^2-x=x^2-2x+1+x-1 \\ &\iff x^2-x^2-x-x+2x=0\\ &\iff 0=0 \end{align*}$$

Donc tout nombre réel est solution de cette équation

L'ensemble des solutions de l'équation est :

$$S=\mathbb{R}$$

• $(2x+1)(x-1)=0$

$$\begin{align*} &(2x+1)(x-1)=0 \\ & \iff 2x+1=0 \text{ ou }x-1=0 \\ & \iff 2x=-\frac12 \text{ ou } x=1 \end{align*}$$

L'ensemble des solutions de l'équation est :

$$S=\left\{-\frac12,1\right\}$$

• $\frac{x+1}{2}=\frac{2x-1}{3}-1$

$$\begin{align*} &\frac{x+1}{2}=\frac{2x-1}{3}-1 \\ &\iff \frac{3x+3}{6}=\frac{4x-2}{6}-\frac{6}{6}\\ &\iff 3x+3=4x-2-6 \\ &\iff 3x-4x=-8-3\\ &\iff -x=-11\\ &\iff x=11\\ \end{align*}$$

L'ensemble des solutions de l'équation est :

$$S=\left\{11\right\}$$

• $x^2+1=0$

$$\begin{align*} x^2+1=0 & \iff x^2=-1 \end{align*}$$

Dans l'ensemble des nombres réels, le carré de n'importe quel nombre réel est toujours positif ou nul. Il est donc impossible d'obtenir $-1$ comme résultat en élevant un nombre réel au carré. Ainsi, l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution réelle.

$$S=\{~\}$$