\begin{itemize}

• $2x+1\ge x+4$

$$\begin{align*} 2x+1\ge x+4 & \iff 2x-x\ge 4-1 \\ &\iff x\ge 3 \end{align*}$$

L'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$S=[3,+\infty[$$

• $3x-1<5x-3$

$$\begin{align*} 3x-1<5x-3 & \iff 3x-5x<-3+1 \\ & \iff -2x<-2 \\ & \iff 2x>2 \\ & \iff x>1 \end{align*}$$

L'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$S=]1,+\infty[$$

• $2x-1 \le 2x+3$

$$\begin{align*} 2x-1 \le 2x+3 &\iff 2x -2x \le 3+1 \\ &\iff 0 \le 4 \text{ impossible} \end{align*}$$

L'inéquation n'a pas de solution

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$S=\left\{~\right\}$$

• $\frac{2x-1}{2}<x$

$$\begin{align*} \frac{2x-1}{2}<x &\iff \frac{2x-1}{2}<\frac{2x}{2} \\ & \iff 2x-1<2x\\ &\iff 2x-2x<1\\ &\iff 0<1 \end{align*}$$

Cette inégalité est toujours vraie pour tout $x$ réel.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

$$S=\mathbb{R}$$