1. $\deg P(X)=3$

2. On a :

   $$\begin{align*} P(-1)&=2(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1\\ &=-2+3-2+1\\ &=0 \end{align*}$$

   donc $-1$ est une racine de $P(X)$

3. Car : $X-(-1)=X+1$ et $-1$ est une racine de $P(X)$

   Autrement : On sait que $P(X)=(X-(-1))Q(X)+P(-1)$ et comme $P(-1)=0$ , alors $P(X)=(X+1)Q(X)$

$$\begin{align*} 2X^3+3X^2+2X+1=0 \iff& P(X)=0 \\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} P(X)=0 &\iff (X+1)(2X^2+X+1)=0 \\ & X+1=0 \text{ ou } 2X^2+X+1=0 \\ & X=-1\text{ ou } 2X^2+X+1=0 \end{align*}$$

Pour l'équation $2X^2+X+1=0$ on a $\Delta=-3<0$,

alors l'équation $2X^2+X+1=0$ n'a pas de solution dans $\R$

et donc l'équation $P(X)=0$ a une unique solution dans $\R$ qui $-1$