📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4

Exercice 3

Considèrons le polynôme :

P(x)=2x3−4x2+2x+36P(x)=2x^3-4x^2+2x+36
  1. Montrer que −2-2 est une racine de P(x)P(x)
  2. Déterminer un polynôme Q(x)Q(x) tel que
P(X)=(x+2)Q(X)P(X)=(x+2)Q(X)

  1. On a :

    P(−2)=2(−2)3−4(−2)2+2(−2)+36=−16−16−4+36=0\begin{align*} P(-2) &=2(-2)^3-4(-2)^2+2(-2)+36\\ &=-16-16-4+36 \\ &=0 \end{align*}

    Donc −2-2 est une racine de P(x)P(x)

  2. Comme −2-2 est une racine de P(x)P(x), alors P(x)P(x) est divisible par x−(−2)x-(-2)

    et donc il existe un polynôme Q(x)Q(x) tel que P(x)=(x+2)Q(x)P(x)=(x+2)Q(x)

    2 x 3 − 4 x 2 + 2 x + 36 x + 2 − 2 x 3 − 4 x 2 − 8 x 2 + 2 x +8 x 2 + 16 x 18 x + 36 − 18 x − 36 0 2 x 2 − 8 x + 18

    Donc Q(x)=2x2−8x+18Q(x)=2x^2-8x+18

    Autre méthode :

    On a d∘P(x)=3d^\circ P(x)=3 donc d∘Q(x)=2d^\circ Q(x)=2 et donc Q(x)Q(x) est un trinôme

    Donc Q(X)=ax2+bx+cQ(X)=ax^2+bx+c,

    Cherchons aa, bb et cc

    P(x)=(x+2)Q(x)=(x+2)(ax2+bx+c)=ax3+(b+2a)x2+(2b+c)x+2c\begin{align*} P(x) &=(x+2)Q(x)\\ &=(x+2)(ax^2+bx+c)\\ &=ax^3+(b+2a)x^2+(2b+c)x+2c\\ \end{align*}

    et on a : P(x)=2x3−4x2+2x+36P(x)=2x^3-4x^2+2x+36

    donc

    a=2b+2a=−42b+c=22c=36\begin{align*} &a=2 \\ &b+2a=-4 \\ &2b+c=2 \\ &2c=36 \end{align*} b=−4−2a=−4−2×2=−8c=2−2b=2−2×(−8)=18c=362=18\begin{align*} &b=-4-2a=-4-2\times2=-8 \\ &c=2-2b=2-2\times(-8)=18 \\ &c=\frac{36}{2}=18 \end{align*}

    Donc : Q(x)=2x2−8x+18Q(x)=2x^2-8x+18