1. et 2.

• Considérons le triangle $AMM^{'}$, on a $\left(BC\right)\ // (MM^{'})$

  donc d’après Théorème de Thales :

  $$\frac{AM{'}}{AB}=\frac{AM}{AC}$$

  Et on a $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$ donc $AM=2AC$

  et donc :

  $$\frac{AM^{'}}{AB}=\frac{2AC}{AC}=2$$

• Considérons le triangle $ABC$, on a $\left(NN^{'}\right) // (BC)$

  donc d’après Théorème de Thales :

  $$\frac{AN^{'}}{AB}=\frac{AN}{AC}$$

  Et on a $\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AC}$ donc $AN=3AC$

  et donc :

  $$\frac{AN^{'}}{AB}=\frac{3AC}{AC}=3$$

• On a $\frac{AM^{'}}{AB}=2$ donc $AM^{'}=2AB$

  Les vecteurs $\overrightarrow{AM^{'}}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction, le même sens et $AM^{'}=2AB$, donc

  $$\overrightarrow{AM^{'}}=2\overrightarrow{AB}$$

• On a $\frac{AN{'}}{AB}=3$ donc $AN^{'}=3AB$

Les vecteurs $\overrightarrow{AN^{'}}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction, des sens opposés et $AN^{'}=3AB$, donc

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Remarques et propriété

On note $p$ la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$

Donc : $p\left(A\right)=A$ , $p\left(C\right)=B$ et $p\left(M\right)=M^{'}$

On a $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}$ et on a trouvé : $\overrightarrow{AM^{'}}=2\overrightarrow{AB}$

De même : $p\left(A\right)=A$ , $p\left(C\right)=B$ et $p\left(N\right)=N^{'}$

On a $\overrightarrow{AN}=-3\overrightarrow{AC}$ et on a trouvé : $\overrightarrow{AN^{'}}=-3\overrightarrow{AB}$

On dit que la projection parallèle conserve le coefficient de colinéarité.