On sait que, un nombre pair multiplié par un nombre pair reste pair.

Donc, $2n^2$ est pair et $6n$ est pair.

Ainsi, $2n^2 + 6n$ est la somme de deux nombres pairs et est donc pair.

Ensuite, ajoutons 3 (un nombre impair) à ce résultat pair :

$$2n^2 + 6n + 3 = \text{pair} + \text{impair} = \text{impair}.$$

Donc, $2n^2 + 6n + 3$ est impair.

Autre méthode : on a :

$$2n^2 + 6n + 3 = 2(n^2 + 3n + 1) + 1.$$

Notons que $k = n^2 + 3n + 1$ est un entier naturel ($k \in \mathbb{N}$).

Ainsi, $2n^2 + 6n + 3$ est de la forme $2k + 1$ où $k$ est un entier, ce qui est la définition d'un nombre impair.

Donc, $2n^2 + 6n + 3$ est impair.